Subgroups — #393196

Order 512.

1268 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#1962	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21195	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21187	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21143	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1938	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂×C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#10930	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1962	—	2	4	no	—
25	#1958	C₄	1	4	yes	complemented
26	#1957	C₄	1	2	yes	complemented
27	#1956	C₄	1	2	yes	complemented
28	#1954	—	2	4	no	—
29	#1939	—	2	4	no	—
30	#1938	—	2	16	no	—
31	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	#1729	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×#97	—	2	4	no	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#532	—	2	2	no	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#124	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂×#121	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#424	—	2	8	no	—
55	#423	—	2	2	no	—
56	#423	—	2	2	no	—
57	#423	—	2	2	no	—
58	#423	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×#104	—	2	8	no	—
63	C₂×#104	—	2	8	no	—
64	C₂×#104	—	2	8	no	—
65	#416	—	2	8	no	—
66	#416	—	2	8	no	—
67	C₂×#103	C₂×C₄	1	8	yes	—
68	C₂×#102	C₂×C₄	1	8	yes	—
69	#408	—	2	8	no	—
70	#408	—	2	8	no	—
71	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×#97	—	2	4	no	—
74	C₂×#97	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	—	2	4	no	—
76	C₂×#97	—	2	4	no	—
77	C₂×#97	—	2	4	no	—
78	C₂×#97	D₄	1	8	yes	complemented
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
86	#384	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	#382	C₂×C₄	1	2	yes	—
88	#380	—	2	2	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
90	C₄³	—	2	2	no	—
91	C₄³	D₄	1	4	yes	—
92	#341	—	2	8	no	—
93	#339	—	2	8	no	—
94	#336	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
109	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
125	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
134	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	#127	—	2	2	no	—
141	#127	—	2	2	no	—
142	#124	—	2	4	no	—
143	#124	—	2	4	no	—
144	#121	—	4	4	no	—
145	#121	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	#117	—	2	4	no	—
149	#117	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
161	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
172	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
173	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
174	#104	—	4	16	no	—
175	#103	—	2	16	no	—
176	#102	—	2	16	no	—
177	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
178	C₂²⋊C₈	—	4	8	no	—
179	#97	—	2	16	no	—
180	#97	—	2	16	no	—
181	C₄×C₈	—	2	4	no	—
182	C₄×C₈	—	2	4	no	—
183	C₄×C₈	—	2	8	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	C₂⁴	—	2	2	no	—
186	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	4	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	#126	1	4	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	M₁₆	—	4	4	no	—
239	M₁₆	—	4	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	2	no	—
255	C₂×C₈	—	4	2	no	—
256	C₂×C₈	—	4	2	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
261	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
263	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	4	16	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	#117	1	2	yes	—
275	C₄²	#117	1	2	yes	—
276	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
277	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
278	C₄²	#121	1	8	yes	—
279	C₄²	#121	1	4	yes	—
280	C₄²	#124	1	4	yes	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	8	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	#529	1	2	yes	—
290	C₂³	#532	1	2	yes	—
291	Q₈	—	4	4	no	—
292	Q₈	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	4	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	8	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	4	8	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	—	8	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
315	C₂×C₄	#388	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#444	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
335	C₈	—	2	4	no	—
336	C₈	—	2	4	no	—
337	C₈	—	2	8	no	—
338	C₈	—	8	2	no	—
339	C₈	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	2	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	8	4	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	4	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	#2854	1	2	yes	—
352	C₂²	#2860	1	2	yes	—
353	C₂²	C₂×#444	1	4	yes	—
354	C₄	—	2	4	no	—
355	C₄	—	4	8	no	—
356	C₄	—	8	2	no	—
357	C₄	—	8	4	no	—
358	C₄	#1938	1	8	yes	complemented
359	C₄	#2293	1	2	yes	—
360	C₄	C₄×#121	1	2	yes	—
361	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
363	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#2861	1	1	yes	characteristic
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	16	2	no	—
368	C₂	#14700	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂×#1938	1	2	yes	—
370	C₂	#21660	1	2	yes	—
371	C₂	#21706	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #21143	C₂	semidirect
5. C₂×#1938	C₂	semidirect
6. C₂×C₄×#97	C₂	semidirect
7. #10930	C₂	semidirect
8. #10844	C₂	semidirect
9. #10839	C₂	semidirect
25. #1958	C₄	semidirect
26. #1957	C₄	semidirect
27. #1956	C₄	semidirect
78. C₂×#97	D₄	semidirect
358. C₄	#1938	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#1962	2
#21195	2
#21187	2
#21143	2
C₂×#1938	2
C₂×C₄×#97	2
#10930	2
#10844	2
#10839	2