Subgroups — #393402

Order 512.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 369 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21337	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1994	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₄²×M₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#10897	C₂	1	4	yes	maximal
7	#10855	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10839	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10826	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
18	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1998	C₄	1	4	yes	complemented
21	#1997	C₄	1	4	yes	complemented
22	#1994	—	2	1	no	—
23	#1994	—	2	1	no	—
24	#1994	—	2	2	no	—
25	#1986	—	2	4	no	—
26	#1950	—	2	4	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
28	#1742	C₂²	1	4	yes	—
29	#1738	C₂²	1	2	yes	—
30	#1733	C₂²	1	2	yes	—
31	#1733	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×#97	—	2	2	no	—
35	C₄×#97	—	2	1	no	—
36	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#533	—	2	2	no	—
43	#533	—	2	1	no	—
44	#533	—	2	1	no	—
45	#533	—	2	2	no	—
46	#533	—	2	1	no	—
47	#533	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#125	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#430	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	#423	—	2	2	no	—
60	#423	—	2	2	no	—
61	#423	—	2	1	no	—
62	#423	—	2	1	no	—
63	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
64	#423	C₂×C₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
68	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
69	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
70	C₄×M₁₆	—	2	1	no	—
71	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
72	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
73	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₄×M₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
76	C₄×M₁₆	Q₈	1	8	yes	complemented
77	C₂×#97	—	2	2	no	—
78	C₂×#97	—	2	1	no	—
79	C₂×#97	—	2	1	no	—
80	C₂×#97	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
85	#384	—	2	1	no	—
86	#382	—	2	1	no	—
87	#380	—	2	2	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
89	C₄³	—	2	2	no	—
90	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄³	D₄	1	2	yes	—
92	C₄³	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#344	—	2	8	no	—
94	#343	C₂×C₄	1	16	yes	—
95	#341	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	2	4	no	—
98	#339	—	2	4	no	—
99	#339	—	2	4	no	—
100	#339	—	2	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂×M₁₆	C₂²×C₄	1	4	yes	—
121	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
124	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
126	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
136	#125	—	2	2	no	—
137	#125	—	2	2	no	—
138	#125	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
147	#117	—	2	2	no	—
148	#117	—	2	2	no	—
149	#117	—	2	2	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	4	no	—
152	#117	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
169	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
182	#108	—	4	8	no	—
183	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
187	#97	—	2	8	no	—
188	#97	—	2	2	no	—
189	#97	—	2	2	no	—
190	#97	—	2	4	no	—
191	#97	—	2	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	C₄×C₈	—	2	2	no	—
194	C₄×C₈	—	2	2	no	—
195	C₄×C₈	—	2	4	no	—
196	C₄×C₈	—	2	8	no	—
197	#95	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
199	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
201	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
210	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	#117	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	#123	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
226	M₁₆	—	2	4	no	—
227	M₁₆	—	2	4	no	—
228	M₁₆	—	2	4	no	—
229	M₁₆	—	2	2	no	—
230	M₁₆	—	2	2	no	—
231	M₁₆	—	2	4	no	—
232	M₁₆	—	2	4	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	4	4	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	M₁₆	C₄×Q₈	1	8	yes	—
239	M₁₆	#124	1	4	yes	—
240	M₁₆	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	2	no	—
243	C₂×C₈	—	2	2	no	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	4	no	—
246	C₂×C₈	—	2	4	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	4	2	no	—
250	C₂×C₈	—	4	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	2	no	—
252	C₂×C₈	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₄²	—	2	8	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	8	no	—
270	C₄²	—	4	4	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₄²	—	4	2	no	—
274	C₄²	—	4	2	no	—
275	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
280	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
281	C₄²	#121	1	2	yes	—
282	C₄²	#121	1	2	yes	—
283	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
284	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
285	C₄²	#126	1	2	yes	—
286	C₄²	#126	1	2	yes	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	C₂×#117	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#529	1	2	yes	—
292	C₂³	#533	1	2	yes	—
293	Q₈	—	8	4	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	8	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#388	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
317	C₂×C₄	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₄×#41	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#126	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
333	C₈	—	2	4	no	—
334	C₈	—	2	4	no	—
335	C₈	—	2	8	no	—
336	C₈	—	4	4	no	—
337	C₈	—	8	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	4	2	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	C₂×#388	1	1	yes	characteristic
344	C₂²	#2295	1	2	yes	—
345	C₂²	#2855	1	2	yes	—
346	C₂²	#2861	1	1	yes	characteristic
347	C₂²	#2862	1	1	yes	characteristic
348	C₄	—	2	8	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	2	2	no	—
351	C₄	—	2	2	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	8	4	no	—
354	C₄	—	16	2	no	—
355	C₄	#1932	1	4	yes	—
356	C₄	C₄×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
357	C₄	C₄×#124	1	1	yes	characteristic
358	C₄	C₄×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₄	#2850	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#2857	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#2863	1	2	yes	—
362	C₂	—	2	2	no	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	2	2	no	—
366	C₂	#14703	1	1	yes	characteristic
367	C₂	C₂×#1932	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#388
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
20. #1998	C₄	semidirect
21. #1997	C₄	semidirect
76. C₄×M₁₆	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21337	2
C₂×#1994	2
#21306	2
#21177	2
C₄²×M₁₆	2
#10897	2
#10855	2
#10839	2
#10826	2