Subgroups — #39355

Order 256.

1743 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2682	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2679	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2433	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2424	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#546	—	2	16	no	—
16	#535	—	2	16	no	—
17	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
29	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
31	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
38	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
40	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#390	C₂²	1	2	yes	—
44	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#385	C₂²	1	8	yes	complemented
53	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
55	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
56	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×#41	—	2	8	no	—
59	C₂×#41	—	2	8	no	—
60	C₂×#41	—	4	4	no	—
61	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
63	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
65	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
68	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
77	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
78	#127	—	2	8	no	—
79	#127	—	4	2	no	—
80	#127	D₄	1	8	yes	complemented
81	#124	—	2	8	no	—
82	#124	—	2	8	no	—
83	#124	—	2	8	no	—
84	#123	—	2	16	no	—
85	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
86	#121	—	2	32	no	—
87	#121	—	2	8	no	—
88	#121	—	2	16	no	—
89	#120	—	2	16	no	—
90	#120	—	2	32	no	—
91	#120	—	4	16	no	—
92	C₄×D₄	—	2	8	no	—
93	C₄×D₄	—	4	8	no	—
94	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
95	#117	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#95	C₂³	1	4	yes	—
123	#95	C₂³	1	2	yes	—
124	#95	C₂³	1	8	yes	—
125	C₂⁴	—	2	8	no	—
126	C₂⁴	—	2	8	no	—
127	C₂⁴	—	4	4	no	—
128	C₂⁴	—	4	8	no	—
129	C₂⁴	—	4	8	no	—
130	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
133	#41	—	4	32	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂×D₄	—	2	8	no	—
138	C₂×D₄	—	2	8	no	—
139	C₂×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂×D₄	—	2	8	no	—
141	C₂×D₄	—	2	16	no	—
142	C₂×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	4	no	—
145	C₂×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂×D₄	—	2	4	no	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	4	32	no	—
150	C₂×D₄	—	4	4	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂×D₄	—	4	4	no	—
154	C₂×D₄	—	4	4	no	—
155	C₂×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×D₄	—	4	8	no	—
157	C₂×D₄	—	4	4	no	—
158	C₂×D₄	—	4	4	no	—
159	C₂×D₄	—	4	8	no	—
160	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
161	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
163	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
170	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
186	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
198	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	C₄²	—	2	4	no	—
200	C₄²	—	2	4	no	—
201	C₄²	—	2	2	no	—
202	C₄²	—	4	2	no	—
203	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
204	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	C₂³	—	2	2	no	—
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	8	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	8	no	—
212	C₂³	—	2	4	no	—
213	C₂³	—	2	4	no	—
214	C₂³	—	2	4	no	—
215	C₂³	—	2	8	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	8	no	—
218	C₂³	—	4	16	no	—
219	C₂³	—	4	16	no	—
220	C₂³	—	8	16	no	—
221	C₂³	—	8	8	no	—
222	C₂³	—	8	16	no	—
223	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
224	C₂³	C₂²×D₄	1	8	yes	—
225	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
226	Q₈	—	4	8	no	—
227	D₄	—	2	16	no	—
228	D₄	—	4	4	no	—
229	D₄	—	4	16	no	—
230	D₄	—	4	16	no	—
231	D₄	—	4	16	no	—
232	D₄	—	4	8	no	—
233	D₄	—	8	8	no	—
234	D₄	—	8	16	no	—
235	D₄	—	8	8	no	—
236	C₂×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	4	16	no	—
254	C₂×C₄	—	8	8	no	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
262	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂²	—	2	4	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	2	8	no	—
266	C₂²	—	2	16	no	—
267	C₂²	—	2	4	no	—
268	C₂²	—	4	4	no	—
269	C₂²	—	4	4	no	—
270	C₂²	—	4	4	no	—
271	C₂²	—	4	8	no	—
272	C₂²	—	4	4	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	8	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	—	4	8	no	—
278	C₂²	—	8	32	no	—
279	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
283	C₂²	#585	1	2	yes	—
284	C₄	—	2	2	no	—
285	C₄	—	2	4	no	—
286	C₄	—	2	4	no	—
287	C₄	—	2	2	no	—
288	C₄	—	2	4	no	—
289	C₄	—	4	4	no	—
290	C₄	—	4	4	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	D₄²	1	4	yes	—
293	C₂	—	4	8	no	—
294	C₂	—	4	4	no	—
295	C₂	—	8	4	no	—
296	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#3496	1	2	yes	—
299	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
300	C₂	#3558	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#546	C₂	semidirect
2. C₂×#535	C₂	semidirect
3. #2858	C₂	semidirect
4. #2682	C₂	semidirect
5. #2679	C₂	semidirect
6. #2620	C₂	semidirect
7. #2544	C₂	semidirect
8. #2433	C₂	semidirect
9. #2432	C₂	semidirect
10. #2424	C₂	semidirect
11. C₄×#127	C₂	semidirect
12. #2293	C₂	semidirect
14. C₂³×D₄	C₂²	semidirect
17. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#124	C₂²	semidirect
22. C₂×#124	C₂²	semidirect
23. C₂×#124	C₂²	semidirect
24. C₂×#123	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×#121	C₂²	semidirect
30. C₂×#120	C₂²	semidirect
31. C₂×#120	C₂²	semidirect
33. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
34. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
35. C₂×#117	C₂²	semidirect
36. C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
37. #396	C₂²	semidirect
38. #394	C₂²	semidirect
39. #394	C₂²	semidirect
40. #394	C₂²	semidirect
41. #392	C₂²	semidirect
42. #391	C₂²	semidirect
44. #390	C₂²	semidirect
45. #390	C₂²	semidirect
46. #390	C₂²	semidirect
47. #390	C₂²	semidirect
48. #390	C₂²	semidirect
49. #389	C₂²	semidirect
50. #388	C₂²	semidirect
51. #386	C₂²	semidirect
52. #385	C₂²	semidirect
53. #384	C₂²	semidirect
54. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
55. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
56. C₄³	C₂²	semidirect
80. #127	D₄	semidirect
94. C₄×D₄	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#546	2
C₂×#535	2
#2858	2
#2682	2
#2679	2
#2620	2
#2544	2
#2433	2
#2432	2
#2424	2
C₄×#127	2
#2293	2