Subgroups — #39361

Order 256.

1925 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 358 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2669	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2619	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2433	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#2433	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2428	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#550	—	2	8	no	—
19	D₄²	—	2	8	no	—
20	#535	—	2	16	no	—
21	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
26	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×#127	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
29	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
36	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
37	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
38	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
39	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
40	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
52	#390	C₂²	1	2	yes	—
53	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	complemented
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#41	—	2	8	no	—
68	C₂×#41	—	2	8	no	—
69	C₂×#41	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
87	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	#127	—	2	8	no	—
95	#127	—	2	8	no	—
96	#127	—	2	4	no	—
97	#127	—	2	4	no	—
98	#127	—	2	8	no	—
99	#127	—	4	8	no	—
100	#127	—	4	4	no	—
101	#127	—	4	8	no	—
102	#124	—	2	8	no	—
103	#124	D₄	1	8	yes	complemented
104	#121	—	2	8	no	—
105	#121	—	2	8	no	—
106	#121	—	2	8	no	—
107	#121	—	2	16	no	—
108	#121	—	2	32	no	—
109	#121	—	4	8	no	—
110	#120	—	2	16	no	—
111	#120	—	2	32	no	—
112	#120	—	4	16	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₄×D₄	—	2	8	no	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
117	#117	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	#95	C₂³	1	4	yes	—
143	#95	C₂³	1	4	yes	—
144	#95	C₂³	1	4	yes	—
145	#95	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂⁴	—	2	8	no	—
147	C₂⁴	—	2	8	no	—
148	C₂⁴	—	4	4	no	—
149	C₂⁴	—	4	8	no	—
150	C₂⁴	—	4	8	no	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
155	#41	—	4	32	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×D₄	—	2	8	no	—
162	C₂×D₄	—	2	16	no	—
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	2	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	8	no	—
167	C₂×D₄	—	2	8	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	4	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	2	16	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	2	no	—
178	C₂×D₄	—	2	8	no	—
179	C₂×D₄	—	2	8	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	4	no	—
182	C₂×D₄	—	2	16	no	—
183	C₂×D₄	—	4	32	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	8	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	—	4	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	8	no	—
189	C₂×D₄	—	4	8	no	—
190	C₂×D₄	—	4	8	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	4	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂×D₄	—	4	8	no	—
195	C₂×D₄	—	4	4	no	—
196	C₂×D₄	—	4	32	no	—
197	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
233	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	4	no	—
238	C₄²	—	2	2	no	—
239	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
240	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	4	no	—
245	C₂³	—	2	2	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	2	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	4	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	2	8	no	—
254	C₂³	—	2	8	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	8	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	4	16	no	—
260	C₂³	—	4	16	no	—
261	C₂³	—	8	8	no	—
262	C₂³	—	8	16	no	—
263	C₂³	—	8	16	no	—
264	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
265	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	Q₈	—	2	8	no	—
268	D₄	—	2	8	no	—
269	D₄	—	2	8	no	—
270	D₄	—	4	16	no	—
271	D₄	—	4	16	no	—
272	D₄	—	4	16	no	—
273	D₄	—	4	8	no	—
274	D₄	—	4	8	no	—
275	D₄	—	4	8	no	—
276	D₄	—	4	8	no	—
277	D₄	—	8	4	no	—
278	D₄	—	8	16	no	—
279	D₄	—	8	4	no	—
280	D₄	—	8	16	no	—
281	D₄	—	8	16	no	—
282	D₄	—	8	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	16	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	4	16	no	—
301	C₂×C₄	—	4	8	no	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	2	4	no	—
315	C₂²	—	2	4	no	—
316	C₂²	—	2	8	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	2	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	4	no	—
324	C₂²	—	4	4	no	—
325	C₂²	—	4	4	no	—
326	C₂²	—	4	4	no	—
327	C₂²	—	4	8	no	—
328	C₂²	—	4	8	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	4	8	no	—
331	C₂²	—	4	8	no	—
332	C₂²	—	8	32	no	—
333	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
336	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	2	4	no	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	—	4	2	no	—
346	C₄	#535	1	4	yes	complemented
347	C₄	D₄²	1	4	yes	—
348	C₂	—	4	4	no	—
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	8	4	no	—
351	C₂	—	8	4	no	—
352	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#3498	1	2	yes	—
356	C₂	#3543	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#550	C₂	semidirect
2. C₂×D₄²	C₂	semidirect
3. C₂×#535	C₂	semidirect
4. #2867	C₂	semidirect
5. #2669	C₂	semidirect
6. #2619	C₂	semidirect
7. #2548	C₂	semidirect
8. #2541	C₂	semidirect
9. #2433	C₂	semidirect
10. #2433	C₂	semidirect
11. #2431	C₂	semidirect
12. #2428	C₂	semidirect
13. C₄×#124	C₂	semidirect
14. #2293	C₂	semidirect
15. C₂²×#41	C₂²	semidirect
24. C₂×#127	C₂²	semidirect
25. C₂×#127	C₂²	semidirect
26. C₂×#127	C₂²	semidirect
27. C₂×#127	C₂²	semidirect
28. C₂×#127	C₂²	semidirect
30. C₂×#124	C₂²	semidirect
33. C₂×#121	C₂²	semidirect
34. C₂×#121	C₂²	semidirect
35. C₂×#121	C₂²	semidirect
36. C₂×#121	C₂²	semidirect
38. C₂×#120	C₂²	semidirect
39. C₂×#120	C₂²	semidirect
40. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
43. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
44. C₂×#117	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
47. #392	C₂²	semidirect
48. #392	C₂²	semidirect
49. #392	C₂²	semidirect
50. #392	C₂²	semidirect
51. #391	C₂²	semidirect
54. #390	C₂²	semidirect
55. #390	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #388	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #386	C₂²	semidirect
61. #382	C₂²	semidirect
62. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
63. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₄³	C₂²	semidirect
103. #124	D₄	semidirect
116. C₄×D₄	D₄	semidirect
158. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
233. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
240. C₄²	C₂×D₄	semidirect
346. C₄	#535	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#550	2
C₂×D₄²	2
C₂×#535	2
#2867	2
#2669	2
#2619	2
#2548	2
#2541	2
#2433	2
#2431	2
#2428	2
C₄×#124	2
#2293	2