Subgroups — #39362

Order 256.

1799 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄²	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#2678	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#2620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2541	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2435	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2431	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2416	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2408	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂³×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	#547	—	2	8	no	—
19	D₄²	—	2	8	no	—
20	#535	—	2	16	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
22	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	complemented
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
27	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	complemented
28	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	complemented
34	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
35	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×#120	C₂²	1	8	yes	complemented
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
41	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	complemented
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#396	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#394	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#392	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#392	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#390	C₂²	1	2	yes	—
52	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#390	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#390	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#386	C₂²	1	8	yes	complemented
60	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
61	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#379	C₂²	1	8	yes	complemented
63	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
66	C₂⁵	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×#41	—	2	8	no	—
68	C₂×#41	—	2	8	no	—
69	C₂×#41	—	4	4	no	—
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
73	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
74	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
75	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
76	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
92	#127	—	2	8	no	—
93	#127	—	2	4	no	—
94	#127	D₄	1	8	yes	complemented
95	#124	—	2	8	no	—
96	#124	—	2	8	no	—
97	#124	—	4	4	no	—
98	#123	—	2	16	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	#121	—	2	8	no	—
101	#121	—	2	32	no	—
102	#121	—	2	8	no	—
103	#121	—	2	8	no	—
104	#121	—	4	8	no	—
105	#120	—	2	32	no	—
106	#120	—	2	16	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	4	no	—
109	C₄×D₄	—	4	8	no	—
110	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
111	#117	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	#95	C₂³	1	4	yes	—
142	#95	C₂³	1	2	yes	—
143	#95	C₂³	1	8	yes	—
144	C₂⁴	—	2	8	no	—
145	C₂⁴	—	2	8	no	—
146	C₂⁴	—	4	8	no	—
147	C₂⁴	—	4	4	no	—
148	C₂⁴	—	4	8	no	—
149	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
153	#41	—	4	32	no	—
154	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂×D₄	—	2	8	no	—
158	C₂×D₄	—	2	8	no	—
159	C₂×D₄	—	2	8	no	—
160	C₂×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×D₄	—	2	16	no	—
162	C₂×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂×D₄	—	2	2	no	—
164	C₂×D₄	—	2	8	no	—
165	C₂×D₄	—	2	4	no	—
166	C₂×D₄	—	2	4	no	—
167	C₂×D₄	—	2	4	no	—
168	C₂×D₄	—	2	4	no	—
169	C₂×D₄	—	2	4	no	—
170	C₂×D₄	—	2	2	no	—
171	C₂×D₄	—	2	2	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	4	no	—
174	C₂×D₄	—	4	32	no	—
175	C₂×D₄	—	4	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	4	no	—
177	C₂×D₄	—	4	8	no	—
178	C₂×D₄	—	4	4	no	—
179	C₂×D₄	—	4	4	no	—
180	C₂×D₄	—	4	8	no	—
181	C₂×D₄	—	4	4	no	—
182	C₂×D₄	—	4	8	no	—
183	C₂×D₄	—	4	32	no	—
184	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
187	C₂×D₄	C₂×D₄	1	16	yes	complemented
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
216	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
217	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
218	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
229	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	C₄²	—	2	4	no	—
231	C₄²	—	2	4	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	4	2	no	—
234	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
236	C₂³	—	2	2	no	—
237	C₂³	—	2	2	no	—
238	C₂³	—	2	2	no	—
239	C₂³	—	2	4	no	—
240	C₂³	—	2	4	no	—
241	C₂³	—	2	2	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	2	4	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	2	4	no	—
246	C₂³	—	2	4	no	—
247	C₂³	—	2	4	no	—
248	C₂³	—	2	4	no	—
249	C₂³	—	2	4	no	—
250	C₂³	—	2	4	no	—
251	C₂³	—	2	8	no	—
252	C₂³	—	2	8	no	—
253	C₂³	—	4	16	no	—
254	C₂³	—	4	16	no	—
255	C₂³	—	8	16	no	—
256	C₂³	—	8	8	no	—
257	C₂³	—	8	16	no	—
258	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
260	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
261	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
262	Q₈	—	4	8	no	—
263	D₄	—	2	8	no	—
264	D₄	—	2	8	no	—
265	D₄	—	2	8	no	—
266	D₄	—	4	16	no	—
267	D₄	—	4	16	no	—
268	D₄	—	4	16	no	—
269	D₄	—	4	16	no	—
270	D₄	—	4	8	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	D₄	—	8	4	no	—
273	D₄	—	8	16	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	16	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	4	no	—
288	C₂×C₄	—	2	4	no	—
289	C₂×C₄	—	2	4	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	16	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	8	no	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	2	4	no	—
308	C₂²	—	2	8	no	—
309	C₂²	—	2	8	no	—
310	C₂²	—	2	4	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	2	no	—
315	C₂²	—	4	2	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	8	no	—
322	C₂²	—	4	4	no	—
323	C₂²	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	8	32	no	—
325	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
328	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#585	1	2	yes	—
330	C₄	—	2	4	no	—
331	C₄	—	2	4	no	—
332	C₄	—	2	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	4	4	no	—
336	C₄	—	4	4	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	#535	1	4	yes	complemented
339	C₄	D₄²	1	4	yes	—
340	C₂	—	4	4	no	—
341	C₂	—	4	4	no	—
342	C₂	—	4	4	no	—
343	C₂	—	8	4	no	—
344	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×D₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#3496	1	2	yes	—
347	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#3546	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#547	C₂	semidirect
2. C₂×D₄²	C₂	semidirect
3. C₂×#535	C₂	semidirect
4. #2858	C₂	semidirect
5. #2678	C₂	semidirect
6. #2620	C₂	semidirect
7. #2547	C₂	semidirect
8. #2541	C₂	semidirect
9. #2435	C₂	semidirect
10. #2431	C₂	semidirect
11. #2416	C₂	semidirect
12. #2408	C₂	semidirect
13. C₄×#127	C₂	semidirect
14. #2293	C₂	semidirect
15. C₂²×#41	C₂²	semidirect
21. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×#127	C₂²	semidirect
26. C₂×#124	C₂²	semidirect
27. C₂×#124	C₂²	semidirect
28. C₂×#123	C₂²	semidirect
29. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
33. C₂×#121	C₂²	semidirect
34. C₂×#121	C₂²	semidirect
36. C₂×#120	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
40. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
41. C₂×#117	C₂²	semidirect
42. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
43. #397	C₂²	semidirect
44. #396	C₂²	semidirect
45. #394	C₂²	semidirect
46. #394	C₂²	semidirect
47. #392	C₂²	semidirect
48. #392	C₂²	semidirect
49. #391	C₂²	semidirect
52. #390	C₂²	semidirect
53. #390	C₂²	semidirect
54. #390	C₂²	semidirect
55. #390	C₂²	semidirect
56. #390	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #388	C₂²	semidirect
59. #386	C₂²	semidirect
60. #384	C₂²	semidirect
61. #380	C₂²	semidirect
62. #379	C₂²	semidirect
63. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
64. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
65. C₄³	C₂²	semidirect
94. #127	D₄	semidirect
110. C₄×D₄	D₄	semidirect
186. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
187. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
235. C₄²	C₂×D₄	semidirect
338. C₄	#535	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#547	2
C₂×D₄²	2
C₂×#535	2
#2858	2
#2678	2
#2620	2
#2547	2
#2541	2
#2435	2
#2431	2
#2416	2
#2408	2
C₄×#127	2
#2293	2