Subgroups — #39367

Order 256.

1280 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 367 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#543	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2732	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2692	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2683	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2440	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2437	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	D₄×C₂²⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal
14	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#543	—	2	16	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#398	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#395	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	2	yes	—
52	#390	C₂²	1	2	yes	—
53	#390	C₂²	1	2	yes	—
54	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#387	C₂²	1	2	yes	complemented
60	#386	C₂²	1	4	yes	—
61	#386	C₂²	1	4	yes	—
62	#385	C₂²	1	4	yes	—
63	#385	C₂²	1	2	yes	—
64	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#380	C₂²	1	2	yes	—
69	#380	C₂²	1	2	yes	—
70	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#380	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#379	C₂²	1	4	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
81	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
82	C₂²×D₄	Q₈	1	8	yes	complemented
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
92	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
93	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
94	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
95	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
96	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
100	C₂²⋊Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
101	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
102	C₄×D₄	—	4	4	no	—
103	C₄×D₄	—	4	4	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	#95	C₂³	1	2	yes	—
148	#95	C₂³	1	2	yes	—
149	#95	C₂³	1	2	yes	—
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	2	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	4	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂⁴	—	2	4	no	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	4	2	no	—
159	C₂⁴	—	4	2	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂⁴	C₂×Q₈	1	8	yes	—
163	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
167	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
170	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
173	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	4	16	no	—
177	C₂×D₄	—	4	2	no	—
178	C₂×D₄	—	4	2	no	—
179	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
180	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
218	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
230	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
231	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
244	C₄²	—	2	2	no	—
245	C₄²	—	2	2	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	4	1	no	—
249	C₄²	—	4	1	no	—
250	C₂³	—	2	1	no	—
251	C₂³	—	2	1	no	—
252	C₂³	—	2	1	no	—
253	C₂³	—	2	1	no	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	2	4	no	—
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	2	4	no	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	16	no	—
261	C₂³	—	4	8	no	—
262	C₂³	—	4	8	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	—	8	4	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
269	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
270	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
272	Q₈	—	4	4	no	—
273	Q₈	—	8	4	no	—
274	Q₈	—	8	8	no	—
275	D₄	—	2	16	no	—
276	D₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂×C₄	—	2	1	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂×C₄	—	2	1	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	8	no	—
290	C₂×C₄	—	2	4	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂×C₄	—	8	8	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂²	—	2	2	no	—
323	C₂²	—	2	2	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	8	no	—
329	C₂²	—	2	8	no	—
330	C₂²	—	2	8	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	4	no	—
335	C₂²	—	8	16	no	—
336	C₂²	D₄×Q₈	1	4	yes	—
337	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
342	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
343	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	2	4	no	—
349	C₄	—	2	2	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	4	1	no	—
355	C₄	—	4	2	no	—
356	C₄	#543	1	4	yes	complemented
357	C₂	—	2	4	no	—
358	C₂	—	4	8	no	—
359	C₂	C₂×#543	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
363	C₂	#3501	1	1	yes	characteristic
364	C₂	#3536	1	1	yes	characteristic
365	C₂	#3561	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#543	C₂	semidirect
2. #2857	C₂	semidirect
3. #2732	C₂	semidirect
4. #2692	C₂	semidirect
5. #2683	C₂	semidirect
6. #2626	C₂	semidirect
7. #2542	C₂	semidirect
8. #2538	C₂	semidirect
9. #2452	C₂	semidirect
10. #2452	C₂	semidirect
11. #2440	C₂	semidirect
12. #2437	C₂	semidirect
14. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
23. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
24. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
25. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
26. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
27. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
28. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
36. #399	C₂²	semidirect
37. #399	C₂²	semidirect
38. #398	C₂²	semidirect
39. #396	C₂²	semidirect
40. #396	C₂²	semidirect
41. #396	C₂²	semidirect
42. #396	C₂²	semidirect
43. #395	C₂²	semidirect
44. #393	C₂²	semidirect
45. #393	C₂²	semidirect
46. #391	C₂²	semidirect
47. #391	C₂²	semidirect
54. #389	C₂²	semidirect
55. #389	C₂²	semidirect
56. #389	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #387	C₂²	semidirect
64. #385	C₂²	semidirect
65. #385	C₂²	semidirect
66. #384	C₂²	semidirect
67. #384	C₂²	semidirect
71. #380	C₂²	semidirect
73. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
74. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
82. C₂²×D₄	Q₈	semidirect
100. C₂²⋊Q₈	D₄	semidirect
173. C₂×Q₈	C₂×D₄	semidirect
229. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
230. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
356. C₄	#543	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#543	2
#2857	2
#2732	2
#2692	2
#2683	2
#2626	2
#2542	2
#2538	2
#2452	2
#2440	2
#2437	2
D₄×C₂²⋊C₄	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2
C₂×#390	2