Subgroups — #39375

Order 256.

1312 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 387 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2727	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#2710	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2682	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2626	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2512	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2501	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2491	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2418	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2416	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2408	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	D₄×C₄⋊C₄	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂³×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#538	—	2	16	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#126	C₂²	1	4	yes	complemented
20	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	complemented
21	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	complemented
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#121	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×#120	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
34	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#399	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#397	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#396	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#394	C₂²	1	4	yes	—
43	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#394	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#393	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#392	C₂²	1	4	yes	—
47	#391	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#390	C₂²	1	2	yes	—
51	#390	C₂²	1	2	yes	—
52	#390	C₂²	1	2	yes	—
53	#390	C₂²	1	2	yes	—
54	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
55	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#389	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#389	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
59	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#388	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#388	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#386	C₂²	1	2	yes	—
63	#386	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#385	C₂²	1	4	yes	—
65	#385	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#384	C₂²	1	2	yes	complemented
68	#380	C₂²	1	2	yes	—
69	#380	C₂²	1	2	yes	—
70	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	#380	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#379	C₂²	1	4	yes	—
73	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₂⁵	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
94	#126	—	2	16	no	—
95	#124	—	2	16	no	—
96	#123	—	2	16	no	—
97	#123	—	4	8	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
99	#121	—	2	16	no	—
100	#121	—	4	4	no	—
101	#121	—	4	4	no	—
102	#121	D₄	1	8	yes	complemented
103	#120	—	2	16	no	—
104	C₄×D₄	—	2	16	no	—
105	C₄×D₄	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	4	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	#95	C₂³	1	2	yes	—
151	#95	C₂³	1	2	yes	—
152	#95	C₂³	1	4	yes	—
153	#95	C₂³	1	2	yes	—
154	#95	C₂³	1	4	yes	—
155	#95	C₂³	1	4	yes	—
156	#95	C₂³	1	4	yes	—
157	C₂⁴	—	2	4	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	4	no	—
160	C₂⁴	—	4	2	no	—
161	C₂⁴	—	4	2	no	—
162	C₂⁴	—	4	2	no	—
163	C₂⁴	—	4	2	no	—
164	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
167	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
168	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
169	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
170	C₂×D₄	—	2	4	no	—
171	C₂×D₄	—	2	4	no	—
172	C₂×D₄	—	2	8	no	—
173	C₂×D₄	—	2	8	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	4	1	no	—
179	C₂×D₄	—	4	2	no	—
180	C₂×D₄	—	4	2	no	—
181	C₂×D₄	—	4	1	no	—
182	C₂×D₄	—	4	16	no	—
183	C₂×D₄	—	4	4	no	—
184	C₂×D₄	—	4	4	no	—
185	C₂×D₄	—	4	4	no	—
186	C₂×D₄	—	4	4	no	—
187	C₂×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
188	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	complemented
234	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	complemented
251	C₄²	—	2	8	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	4	1	no	—
256	C₄²	—	4	1	no	—
257	C₂³	—	2	1	no	—
258	C₂³	—	2	1	no	—
259	C₂³	—	2	1	no	—
260	C₂³	—	2	1	no	—
261	C₂³	—	2	2	no	—
262	C₂³	—	2	2	no	—
263	C₂³	—	2	2	no	—
264	C₂³	—	2	2	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	4	no	—
268	C₂³	—	2	4	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	2	4	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	2	4	no	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	8	no	—
275	C₂³	—	4	8	no	—
276	C₂³	—	4	8	no	—
277	C₂³	—	8	4	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	—	8	4	no	—
280	C₂³	—	8	4	no	—
281	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
284	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
286	Q₈	—	8	4	no	—
287	D₄	—	2	16	no	—
288	D₄	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	8	no	—
291	D₄	—	8	8	no	—
292	D₄	—	8	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	8	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	1	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	8	no	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	2	no	—
339	C₂²	—	2	2	no	—
340	C₂²	—	2	2	no	—
341	C₂²	—	2	4	no	—
342	C₂²	—	2	4	no	—
343	C₂²	—	2	4	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	2	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	2	no	—
348	C₂²	—	4	4	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	—	4	4	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	8	16	no	—
356	C₂²	#547	1	4	yes	—
357	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	4	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	1	no	—
375	C₄	#538	1	4	yes	complemented
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	4	4	no	—
378	C₂	—	8	4	no	—
379	C₂	C₂×#538	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3506	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#3536	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#3561	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#538	C₂	semidirect
2. #2857	C₂	semidirect
3. #2727	C₂	semidirect
4. #2710	C₂	semidirect
5. #2682	C₂	semidirect
6. #2626	C₂	semidirect
7. #2512	C₂	semidirect
8. #2501	C₂	semidirect
9. #2491	C₂	semidirect
10. #2418	C₂	semidirect
11. #2416	C₂	semidirect
12. #2408	C₂	semidirect
13. D₄×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
14. C₄×#121	C₂	semidirect
15. C₂×#390	C₂	semidirect
18. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
19. C₂×#126	C₂²	semidirect
20. C₂×#124	C₂²	semidirect
21. C₂×#123	C₂²	semidirect
22. C₂×#123	C₂²	semidirect
27. C₂×#121	C₂²	semidirect
31. C₂×C₄×D₄	C₂²	semidirect
33. C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
37. #399	C₂²	semidirect
38. #399	C₂²	semidirect
39. #397	C₂²	semidirect
40. #396	C₂²	semidirect
41. #396	C₂²	semidirect
43. #394	C₂²	semidirect
44. #394	C₂²	semidirect
45. #393	C₂²	semidirect
47. #391	C₂²	semidirect
54. #390	C₂²	semidirect
55. #389	C₂²	semidirect
56. #389	C₂²	semidirect
57. #389	C₂²	semidirect
58. #389	C₂²	semidirect
59. #388	C₂²	semidirect
60. #388	C₂²	semidirect
61. #388	C₂²	semidirect
63. #386	C₂²	semidirect
65. #385	C₂²	semidirect
66. #384	C₂²	semidirect
67. #384	C₂²	semidirect
71. #380	C₂²	semidirect
73. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
74. C₄×C₄⋊C₄	C₂²	semidirect
75. C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	semidirect
102. #121	D₄	semidirect
188. C₂×D₄	C₂×D₄	semidirect
233. C₄⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
250. C₂²⋊C₄	C₂×D₄	semidirect
375. C₄	#538	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#538	2
#2857	2
#2727	2
#2710	2
#2682	2
#2626	2
#2512	2
#2501	2
#2491	2
#2418	2
#2416	2
#2408	2
D₄×C₄⋊C₄	2
C₄×#121	2
C₂×#390	2