Subgroups — #393776

Order 512.

2122 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 246 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#36644	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1963	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20791	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₄×#376	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
7	C₂×#532	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#104	C₂²	1	16	yes	—
11	#2868	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	#2867	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	#2858	C₄	1	4	yes	complemented
14	#2858	C₄	1	2	yes	complemented
15	#2856	—	2	4	no	—
16	C₄×#127	—	2	4	no	—
17	C₂×#376	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#1963	—	2	32	no	—
21	#1962	—	2	16	no	—
22	#1842	—	2	4	no	—
23	C₄×#95	—	2	4	no	—
24	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
25	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
26	#532	—	2	8	no	—
27	#532	—	2	16	no	—
28	#532	—	2	8	no	—
29	#532	—	2	16	no	—
30	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
32	C₂×#127	—	2	4	no	—
33	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
34	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
35	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
36	C₂×#124	C₂×C₄	1	8	yes	—
37	C₂×#121	—	2	4	no	—
38	C₂×#121	—	2	8	no	—
39	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
41	C₂²×C₄²	—	2	4	no	—
42	C₂²×C₄²	D₄	1	4	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
46	#423	—	2	8	no	—
47	#423	—	2	16	no	—
48	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
50	C₂×#104	—	2	32	no	—
51	C₂×#104	—	2	64	no	—
52	#390	—	2	8	no	—
53	#390	—	2	16	no	—
54	#384	—	2	4	no	—
55	#376	—	2	8	no	—
56	#376	D₄	1	16	yes	complemented
57	C₂×#95	—	2	8	no	—
58	C₄³	—	2	4	no	—
59	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
60	C₄³	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	C₄³	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
62	C₄³	D₄	1	4	yes	—
63	C₄³	D₄	1	8	yes	complemented
64	C₂×#41	—	2	8	no	—
65	C₂×#41	—	2	16	no	—
66	C₂×#41	—	2	8	no	—
67	C₂×#41	—	2	16	no	—
68	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
69	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
70	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
71	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
72	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
73	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
74	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
75	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
79	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
80	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
81	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
82	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
83	#127	—	2	8	no	—
84	#127	—	2	16	no	—
85	#127	—	4	16	no	—
86	#124	—	2	16	no	—
87	#124	—	2	32	no	—
88	#121	—	4	16	no	—
89	#121	—	4	32	no	—
90	C₄×D₄	—	4	16	no	—
91	C₄×D₄	—	4	8	no	—
92	C₄×D₄	—	4	8	no	—
93	C₄×D₄	—	4	16	no	—
94	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
95	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
98	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
99	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
100	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
101	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
102	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
103	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
112	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
114	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
117	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
118	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
119	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
120	#104	—	4	64	no	—
121	#95	—	2	32	no	—
122	C₂⁴	—	2	4	no	—
123	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	#41	—	4	16	no	—
125	#41	—	4	16	no	—
126	#41	—	4	32	no	—
127	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	16	no	—
131	C₂×D₄	—	4	32	no	—
132	C₂×D₄	—	4	8	no	—
133	C₂×D₄	—	4	16	no	—
134	C₂×D₄	—	4	16	no	—
135	C₂×D₄	—	4	8	no	—
136	C₂×D₄	—	4	16	no	—
137	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
139	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
140	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
142	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
143	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
144	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
152	C₂²×C₄	#121	1	16	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
159	M₁₆	—	4	16	no	—
160	C₂×C₈	—	4	4	no	—
161	C₂×C₈	—	4	8	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
163	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
164	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
165	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
166	C₄²	—	2	16	no	—
167	C₄²	—	2	8	no	—
168	C₄²	—	2	8	no	—
169	C₄²	—	2	8	no	—
170	C₄²	—	4	8	no	—
171	C₄²	—	4	32	no	—
172	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
173	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
174	C₄²	C₄×D₄	1	8	yes	—
175	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
176	C₄²	#124	1	8	yes	—
177	C₄²	#124	1	4	yes	—
178	C₄²	#127	1	8	yes	—
179	C₄²	#127	1	4	yes	—
180	C₄²	#127	1	16	yes	complemented
181	C₂³	—	2	4	no	—
182	C₂³	—	4	16	no	—
183	C₂³	—	4	4	no	—
184	C₂³	—	4	8	no	—
185	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
187	C₂³	C₂×#121	1	4	yes	—
188	Q₈	—	4	16	no	—
189	D₄	—	4	16	no	—
190	D₄	—	8	32	no	—
191	D₄	—	8	16	no	—
192	D₄	—	8	16	no	—
193	C₂×C₄	—	2	8	no	—
194	C₂×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂×C₄	—	2	16	no	—
197	C₂×C₄	—	2	16	no	—
198	C₂×C₄	—	4	16	no	—
199	C₂×C₄	—	4	16	no	—
200	C₂×C₄	—	4	32	no	—
201	C₂×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂×C₄	—	8	8	no	—
204	C₂×C₄	—	8	4	no	—
205	C₂×C₄	—	8	4	no	—
206	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
207	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
208	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
209	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
210	C₂×C₄	#421	1	8	yes	—
211	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
212	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
213	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
215	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
216	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
217	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
218	C₂×C₄	#532	1	8	yes	—
219	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
220	C₈	—	8	4	no	—
221	C₂²	—	2	4	no	—
222	C₂²	—	2	8	no	—
223	C₂²	—	8	4	no	—
224	C₂²	—	8	8	no	—
225	C₂²	—	8	16	no	—
226	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
227	C₂²	C₂×#390	1	2	yes	—
228	C₂²	#2856	1	4	yes	—
229	C₂²	C₂×#421	1	4	yes	—
230	C₄	—	2	4	no	—
231	C₄	—	2	8	no	—
232	C₄	—	2	8	no	—
233	C₄	—	4	16	no	—
234	C₄	—	8	4	no	—
235	C₄	#1963	1	8	yes	complemented
236	C₄	C₄×#127	1	4	yes	—
237	C₄	#2858	1	2	yes	—
238	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
239	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
240	C₂	—	2	4	no	—
241	C₂	—	16	4	no	—
242	C₂	#14713	1	1	yes	characteristic
243	C₂	C₂×#1963	1	2	yes	—
244	C₂	#21209	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄
prime radical	#36644	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1963	C₂	semidirect
3. C₂×#1962	C₂	semidirect
4. #20791	C₂	semidirect
5. C₄×#376	C₂	semidirect
11. #2868	C₄	semidirect
12. #2867	C₄	semidirect
13. #2858	C₄	semidirect
14. #2858	C₄	semidirect
56. #376	D₄	semidirect
63. C₄³	D₄	semidirect
180. C₄²	#127	semidirect
235. C₄	#1963	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#36644	2
C₂×#1963	2
C₂×#1962	2
#20791	2
C₄×#376	2