Subgroups — #393804

Order 512.

1838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1975	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1974	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1963	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21188	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
11	#3147	—	2	4	no	—
12	#3147	—	2	4	no	—
13	C₂×#495	C₄	1	2	yes	complemented
14	C₂×#495	C₄	1	2	yes	complemented
15	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
16	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#492	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1975	—	2	16	no	—
29	#1974	—	2	16	no	—
30	#1963	—	2	8	no	—
31	#1955	—	2	8	no	—
32	#1848	—	2	4	no	—
33	#1726	—	2	4	no	—
34	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#135	—	2	4	no	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	8	no	—
40	C₂×#135	—	2	8	no	—
41	C₂×#135	—	2	8	no	—
42	C₂×#135	—	2	8	no	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
44	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	2	yes	—
45	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
47	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
48	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#532	—	2	4	no	—
54	#532	—	2	4	no	—
55	#532	—	2	4	no	—
56	#532	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
58	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
60	C₂×#121	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#495	—	2	8	no	—
65	#495	—	2	8	no	—
66	#494	—	2	4	no	—
67	#493	—	2	4	no	—
68	#492	—	2	8	no	—
69	C₂×#108	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	C₂×#108	—	2	8	no	—
72	C₂×#108	—	2	8	no	—
73	#423	—	2	4	no	—
74	#423	—	2	4	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×#104	—	2	16	no	—
77	C₂×#104	—	2	16	no	—
78	C₂×#104	—	2	16	no	—
79	#408	—	2	16	no	—
80	#408	—	2	16	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
82	C₂×#97	—	2	4	no	—
83	C₂×#97	—	2	4	no	—
84	C₂×#97	—	2	2	no	—
85	C₂×#97	—	2	2	no	—
86	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
87	C₂×#97	D₄	1	8	yes	complemented
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
97	#376	—	2	2	no	—
98	#376	D₄	1	4	yes	—
99	C₂×#95	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	4	no	—
101	C₂×#41	—	2	4	no	—
102	C₂×#41	—	2	4	no	—
103	C₂×#41	—	2	8	no	—
104	C₂×#41	—	2	8	no	—
105	C₂×#41	—	2	4	no	—
106	C₂×#41	—	2	8	no	—
107	C₂×#41	—	2	8	no	—
108	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	#135	—	4	16	no	—
117	#135	—	4	16	no	—
118	#135	—	4	8	no	—
119	#135	—	4	8	no	—
120	#135	—	4	8	no	—
121	#135	—	4	8	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
127	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
128	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×D₈	—	2	4	no	—
131	C₂×D₈	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	8	no	—
133	C₂×D₈	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
158	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	2	4	no	—
162	#124	—	2	8	no	—
163	#124	—	2	8	no	—
164	#121	—	4	8	no	—
165	#121	—	4	8	no	—
166	C₄×D₄	—	4	8	no	—
167	C₄×D₄	—	4	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	#108	—	4	8	no	—
184	#108	—	4	8	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
186	#104	—	4	32	no	—
187	C₂²⋊C₈	—	4	32	no	—
188	#97	—	2	16	no	—
189	#97	—	2	8	no	—
190	C₄×C₈	—	2	16	no	—
191	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
193	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
194	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	#95	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	4	8	no	—
199	#41	—	4	8	no	—
200	#41	—	4	4	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	8	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	8	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	#41	—	4	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	8	no	—
215	C₂×D₄	—	2	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	8	no	—
219	C₂×D₄	—	4	8	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	8	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
232	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	Q₁₆	—	4	8	no	—
247	Q₁₆	—	4	8	no	—
248	SD₁₆	—	4	16	no	—
249	SD₁₆	—	4	16	no	—
250	D₈	—	4	8	no	—
251	D₈	—	4	8	no	—
252	M₁₆	—	4	8	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	M₁₆	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	4	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	4	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	—	2	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₄×D₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
272	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
273	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
274	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
276	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₄²	—	2	4	no	—
281	C₄²	—	2	4	no	—
282	C₄²	—	2	4	no	—
283	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
286	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
287	C₄²	#121	1	4	yes	—
288	C₄²	#127	1	8	yes	—
289	C₄²	#127	1	4	yes	—
290	C₂³	—	2	4	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	4	16	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#532	1	2	yes	—
298	C₂³	#532	1	2	yes	—
299	Q₈	—	4	8	no	—
300	Q₈	—	4	4	no	—
301	Q₈	—	4	4	no	—
302	D₄	—	4	8	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	8	16	no	—
306	D₄	—	8	8	no	—
307	D₄	—	8	4	no	—
308	D₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	8	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
342	C₈	—	2	8	no	—
343	C₈	—	8	4	no	—
344	C₈	#390	1	4	yes	—
345	C₈	#390	1	4	yes	—
346	C₈	#390	1	4	yes	—
347	C₈	#390	1	4	yes	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	16	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₄×#127	1	2	yes	—
357	C₂²	#2856	1	2	yes	—
358	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2957	1	4	yes	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	4	8	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
366	C₄	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
367	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
368	C₄	#2856	1	2	yes	—
369	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	2	2	no	—
372	C₂	—	2	1	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	16	4	no	—
375	C₂	#14713	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#21240	1	2	yes	—
377	C₂	#21707	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×#97 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1975	C₂	semidirect
3. C₂×#1974	C₂	semidirect
4. C₂×#1963	C₂	semidirect
5. #21188	C₂	semidirect
6. C₂×#1848	C₂	semidirect
7. C₂×#1726	C₂	semidirect
13. C₂×#495	C₄	semidirect
14. C₂×#495	C₄	semidirect
15. C₂×#494	C₄	semidirect
16. C₂×#493	C₄	semidirect
17. C₂×#492	C₄	semidirect
87. C₂×#97	D₄	semidirect
96. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
C₂×#1975	2
C₂×#1974	2
C₂×#1963	2
#21188	2
C₂×#1848	2
C₂×#1726	2