Subgroups — #393806

Order 512.

1846 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 339 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1975	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1974	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1963	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21187	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×#1726	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3150	—	2	4	no	—
11	#3150	—	2	4	no	—
12	C₂×#497	C₄	1	4	yes	complemented
13	C₂×#496	C₄	1	4	yes	complemented
14	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#104	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1975	—	2	16	no	—
25	#1974	—	2	16	no	—
26	#1963	—	2	8	no	—
27	#1954	—	2	8	no	—
28	#1849	—	2	4	no	—
29	#1726	—	2	4	no	—
30	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂×#135	—	2	8	no	—
32	C₂×#135	—	2	8	no	—
33	C₂×#135	—	2	8	no	—
34	C₂×#135	—	2	8	no	—
35	C₂×#135	—	2	8	no	—
36	C₂×#135	—	2	8	no	—
37	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
38	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
39	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
44	#532	—	2	4	no	—
45	#532	—	2	4	no	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
49	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
50	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	#497	—	2	16	no	—
56	#496	—	2	16	no	—
57	C₂×#108	—	2	8	no	—
58	C₂×#108	—	2	8	no	—
59	C₂×#108	—	2	8	no	—
60	#423	—	2	4	no	—
61	#423	—	2	4	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
63	C₂×#104	—	2	16	no	—
64	C₂×#104	—	2	16	no	—
65	C₂×#104	—	2	16	no	—
66	#408	—	2	16	no	—
67	#408	—	2	16	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
70	C₂×#97	—	2	4	no	—
71	C₂×#97	—	2	4	no	—
72	C₂×#97	C₂×C₄	1	4	yes	—
73	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
75	C₂×#97	D₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	8	yes	complemented
82	#376	—	2	2	no	—
83	#376	D₄	1	4	yes	—
84	C₂×#95	—	2	2	no	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	4	no	—
88	C₂×#41	—	2	8	no	—
89	C₂×#41	—	2	8	no	—
90	C₂×#41	—	2	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	8	no	—
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
99	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	#135	—	4	16	no	—
102	#135	—	4	16	no	—
103	#135	—	4	16	no	—
104	#135	—	4	16	no	—
105	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
106	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
107	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
108	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
109	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
110	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
111	C₂×D₈	—	2	8	no	—
112	C₂×D₈	—	2	8	no	—
113	C₂×D₈	—	2	8	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
123	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
124	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
125	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
135	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	#127	—	2	4	no	—
139	#127	—	2	4	no	—
140	#124	—	2	8	no	—
141	#124	—	2	8	no	—
142	#121	—	4	8	no	—
143	#121	—	4	8	no	—
144	C₄×D₄	—	4	8	no	—
145	C₄×D₄	—	4	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
160	#108	—	4	16	no	—
161	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
162	#104	—	4	32	no	—
163	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
164	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
165	#97	—	2	16	no	—
166	#97	C₂²⋊C₄	1	16	yes	—
167	C₄×C₈	—	2	16	no	—
168	C₄×C₈	—	2	8	no	—
169	#95	—	2	8	no	—
170	C₂⁴	—	2	4	no	—
171	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
172	#41	—	4	8	no	—
173	#41	—	4	8	no	—
174	#41	—	4	8	no	—
175	#41	—	4	8	no	—
176	#41	—	4	8	no	—
177	#41	—	4	8	no	—
178	#41	—	4	8	no	—
179	#41	—	4	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	8	no	—
187	C₂×D₄	—	2	8	no	—
188	C₂×D₄	—	4	16	no	—
189	C₂×D₄	—	4	4	no	—
190	C₂×D₄	—	4	4	no	—
191	C₂×D₄	—	4	8	no	—
192	C₂×D₄	—	4	8	no	—
193	C₂×D₄	—	4	8	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
219	Q₁₆	—	4	16	no	—
220	SD₁₆	—	4	32	no	—
221	D₈	—	4	16	no	—
222	M₁₆	—	4	8	no	—
223	M₁₆	—	4	8	no	—
224	C₂×C₈	—	2	2	no	—
225	C₂×C₈	—	2	2	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	—	2	4	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	4	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	4	4	no	—
233	C₂×C₈	—	4	4	no	—
234	C₂×C₈	—	4	4	no	—
235	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
236	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
237	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
238	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
239	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
240	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
241	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
242	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
243	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
244	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
246	C₄²	—	2	4	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
250	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
251	C₄²	#121	1	4	yes	—
252	C₄²	#127	1	8	yes	—
253	C₄²	#127	1	4	yes	—
254	C₂³	—	2	4	no	—
255	C₂³	—	4	4	no	—
256	C₂³	—	4	4	no	—
257	C₂³	—	4	16	no	—
258	C₂³	—	4	4	no	—
259	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	#532	1	2	yes	—
263	C₂³	#532	1	2	yes	—
264	Q₈	—	4	8	no	—
265	Q₈	—	4	8	no	—
266	D₄	—	4	8	no	—
267	D₄	—	4	8	no	—
268	D₄	—	8	16	no	—
269	D₄	—	8	8	no	—
270	D₄	—	8	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂×C₄	—	4	4	no	—
275	C₂×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂×C₄	—	8	4	no	—
282	C₂×C₄	—	8	4	no	—
283	C₂×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	#390	1	8	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
295	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
296	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
304	C₈	—	2	4	no	—
305	C₈	—	2	4	no	—
306	C₈	—	8	4	no	—
307	C₈	#390	1	16	yes	—
308	C₂²	—	2	4	no	—
309	C₂²	—	2	4	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	8	4	no	—
313	C₂²	—	8	8	no	—
314	C₂²	—	8	8	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
318	C₂²	C₄×#127	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	#2856	1	2	yes	—
320	C₂²	#2858	1	2	yes	—
321	C₂²	#2955	1	4	yes	—
322	C₄	—	2	8	no	—
323	C₄	—	4	8	no	—
324	C₄	—	8	4	no	—
325	C₄	C₂×#390	1	2	yes	—
326	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
327	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
328	C₄	#2856	1	1	yes	characteristic
329	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
330	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
331	C₂	—	2	2	no	—
332	C₂	—	2	2	no	—
333	C₂	—	16	4	no	—
334	C₂	#14713	1	1	yes	characteristic
335	C₂	#21242	1	2	yes	—
336	C₂	#21708	1	2	yes	—
337	C₂	#21709	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²×C₄	C₂²×D₄
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂³	C₂×C₄×D₄
prime radical	C₂×#3150	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#1975	C₂	semidirect
3. C₂×#1974	C₂	semidirect
4. C₂×#1963	C₂	semidirect
5. #21187	C₂	semidirect
6. C₂×#1849	C₂	semidirect
7. C₂×#1726	C₂	semidirect
12. C₂×#497	C₄	semidirect
13. C₂×#496	C₄	semidirect
75. C₂×#97	D₄	semidirect
81. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3150	2
C₂×#1975	2
C₂×#1974	2
C₂×#1963	2
#21187	2
C₂×#1849	2
C₂×#1726	2