Subgroups — #393807

Order 512.

1820 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21252	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1976	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
4	#21212	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20797	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₄×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂²×#135	C₂²	1	4	yes	—
8	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
9	#3147	—	2	1	no	—
10	#3147	—	2	1	no	—
11	#3147	—	2	2	no	—
12	#3147	—	2	1	no	—
13	#3147	—	2	1	no	—
14	#3147	—	2	2	no	—
15	C₂×#495	C₄	1	4	yes	complemented
16	C₂×#494	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂×#493	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂×#492	C₄	1	2	yes	complemented
19	C₂×#427	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#421	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2285	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#1980	—	2	8	no	—
28	#1976	—	2	32	no	—
29	#1964	—	2	8	no	—
30	#1846	—	2	2	no	—
31	#1845	—	2	1	no	—
32	#1844	—	2	1	no	—
33	#1726	—	2	2	no	—
34	C₄×#97	—	2	1	no	—
35	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	4	no	—
40	C₂×#135	—	2	4	no	—
41	C₂×#135	—	2	16	no	—
42	C₂×#135	—	2	16	no	—
43	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	4	yes	—
44	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	8	yes	—
45	C₂²×D₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	#532	—	2	2	no	—
49	#532	—	2	2	no	—
50	#532	—	2	2	no	—
51	#532	—	2	2	no	—
52	#532	—	2	4	no	—
53	#532	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
55	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
56	C₂×#124	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#121	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#495	—	2	4	no	—
63	#495	—	2	4	no	—
64	#495	—	2	4	no	—
65	#495	—	2	4	no	—
66	#494	—	2	1	no	—
67	#494	—	2	1	no	—
68	#494	—	2	2	no	—
69	#493	—	2	1	no	—
70	#493	—	2	1	no	—
71	#493	—	2	2	no	—
72	#492	—	2	2	no	—
73	#492	—	2	2	no	—
74	#492	—	2	4	no	—
75	#427	—	2	16	no	—
76	C₂×#107	—	2	4	no	—
77	C₂×#106	—	2	4	no	—
78	#421	—	2	32	no	—
79	C₂×#104	—	2	16	no	—
80	#410	—	2	32	no	—
81	C₂×#99	—	2	16	no	—
82	#405	—	2	8	no	—
83	#405	D₄	1	16	yes	complemented
84	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
85	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
86	C₂×#97	—	2	4	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	#384	—	2	2	no	—
100	#382	—	2	2	no	—
101	#380	—	2	4	no	—
102	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
103	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
104	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
105	#376	—	2	1	no	—
106	C₄³	—	2	1	no	—
107	C₂×#41	—	2	4	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	16	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	16	no	—
113	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
114	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
117	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
118	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	#135	—	4	16	no	—
121	#135	—	4	16	no	—
122	#135	—	4	8	no	—
123	#135	—	4	8	no	—
124	#135	—	4	8	no	—
125	#135	—	4	8	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
132	C₂×D₈	—	2	4	no	—
133	C₂×D₈	—	2	4	no	—
134	C₂×D₈	—	2	16	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
147	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	#127	—	2	2	no	—
152	#127	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	4	no	—
154	#124	—	2	4	no	—
155	#124	—	2	4	no	—
156	#124	—	2	8	no	—
157	#121	—	4	4	no	—
158	#121	—	4	4	no	—
159	#121	—	4	4	no	—
160	#121	—	4	4	no	—
161	C₄×D₄	—	4	4	no	—
162	C₄×D₄	—	4	4	no	—
163	C₄×D₄	—	4	4	no	—
164	C₄×D₄	—	4	4	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	16	no	—
167	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
187	#107	—	4	8	no	—
188	#106	—	4	8	no	—
189	#104	—	4	32	no	—
190	#99	—	4	32	no	—
191	#97	—	2	16	no	—
192	#97	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	16	no	—
194	C₄×C₈	—	2	4	no	—
195	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
200	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
201	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
203	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
205	#95	—	2	4	no	—
206	#95	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	#41	—	4	16	no	—
210	#41	—	4	8	no	—
211	#41	—	4	8	no	—
212	#41	—	4	8	no	—
213	#41	—	4	8	no	—
214	#41	—	4	16	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	16	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	8	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	8	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
238	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
249	Q₁₆	—	4	8	no	—
250	Q₁₆	—	4	8	no	—
251	SD₁₆	—	4	16	no	—
252	SD₁₆	—	4	16	no	—
253	D₈	—	4	8	no	—
254	D₈	—	4	8	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	#127	1	8	yes	—
258	C₂×C₈	—	2	8	no	—
259	C₂×C₈	—	2	4	no	—
260	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
262	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
265	C₂×C₈	C₄×D₄	1	8	yes	—
266	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
267	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
268	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
272	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	#127	1	8	yes	—
282	C₄²	—	2	8	no	—
283	C₄²	—	4	8	no	—
284	C₄²	—	4	8	no	—
285	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
286	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
290	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
291	C₄²	#121	1	2	yes	—
292	C₄²	#121	1	2	yes	—
293	C₄²	#124	1	2	yes	—
294	C₄²	#124	1	2	yes	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	—	8	8	no	—
299	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
303	C₂³	#532	1	2	yes	—
304	Q₈	—	4	8	no	—
305	Q₈	—	4	8	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	8	8	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	D₄	—	8	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	8	no	—
322	C₂×C₄	—	4	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	—	8	8	no	—
325	C₂×C₄	—	8	8	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#390	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
342	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
343	C₈	—	2	8	no	—
344	C₈	#390	1	4	yes	—
345	C₈	#390	1	4	yes	—
346	C₈	#390	1	4	yes	—
347	C₈	#390	1	4	yes	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	8	4	no	—
354	C₂²	—	8	8	no	—
355	C₂²	—	16	8	no	—
356	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₄×#127	1	2	yes	—
358	C₂²	#2856	1	2	yes	—
359	C₂²	#2858	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#2867	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	4	8	no	—
365	C₄	—	8	4	no	—
366	C₄	—	16	4	no	—
367	C₄	#1976	1	4	yes	complemented
368	C₄	C₂×#390	1	2	yes	—
369	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
370	C₄	#2856	1	2	yes	—
371	C₄	#2858	1	2	yes	—
372	C₂	—	2	2	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	2	no	—
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	16	4	no	—
377	C₂	#14713	1	1	yes	characteristic
378	C₂	C₂×#1976	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#390
prime radical	C₂×#3147	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #21252	C₂	semidirect
3. C₂×#1976	C₂	semidirect
4. #21212	C₂	semidirect
5. #20797	C₂	semidirect
6. C₄×#405	C₂	semidirect
15. C₂×#495	C₄	semidirect
16. C₂×#494	C₄	semidirect
17. C₂×#493	C₄	semidirect
18. C₂×#492	C₄	semidirect
83. #405	D₄	semidirect
367. C₄	#1976	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#3147	2
#21252	2
C₂×#1976	2
#21212	2
#20797	2
C₄×#405	2