Subgroups — #393809

Order 512.

1946 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 373 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#21260	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1977	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₂×#1848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#492	—	2	4	no	—
13	C₂×#492	—	2	1	no	—
14	C₂×#492	—	2	1	no	—
15	C₂×#492	—	2	2	no	—
16	C₂×#492	C₄	1	8	yes	complemented
17	C₂²×#108	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#419	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#405	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₄×#117	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1982	—	2	4	no	—
29	#1981	—	2	4	no	—
30	#1977	—	2	32	no	—
31	#1966	—	2	4	no	—
32	#1965	—	2	4	no	—
33	#1848	—	2	4	no	—
34	#1726	—	2	2	no	—
35	C₄×#97	—	2	1	no	—
36	C₄²×C₈	—	2	1	no	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
44	C₂²×SD₁₆	—	2	16	no	—
45	C₂²×SD₁₆	C₂×C₄	1	16	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
57	C₂×#127	—	2	1	no	—
58	C₂×#127	—	2	1	no	—
59	C₂×#127	—	2	2	no	—
60	C₂×#127	—	2	2	no	—
61	C₂×#127	—	2	2	no	—
62	C₂×#127	—	2	2	no	—
63	C₂×#127	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#492	—	2	8	no	—
68	#492	—	2	8	no	—
69	#492	—	2	16	no	—
70	C₂×#108	—	2	8	no	—
71	C₂×#108	—	2	16	no	—
72	#423	—	2	2	no	—
73	#423	—	2	2	no	—
74	#423	—	2	2	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
78	#419	—	2	16	no	—
79	#418	—	2	16	no	—
80	C₂×#103	—	2	8	no	—
81	C₂×#102	—	2	8	no	—
82	C₂×#101	—	2	8	no	—
83	C₂×#101	—	2	16	no	—
84	C₂×#100	—	2	8	no	—
85	C₂×#100	—	2	16	no	—
86	#405	—	2	8	no	—
87	#405	D₄	1	16	yes	complemented
88	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
89	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
90	C₂×#97	—	2	4	no	—
91	C₂×#97	—	2	1	no	—
92	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₄×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
99	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	4	yes	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
101	#376	—	2	1	no	—
102	C₄³	—	2	1	no	—
103	C₂⁵	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
112	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
120	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
124	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	64	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
132	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
133	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
134	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	8	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
158	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
160	#127	—	2	4	no	—
161	#127	—	2	4	no	—
162	#127	—	2	8	no	—
163	#127	—	4	2	no	—
164	#127	—	4	2	no	—
165	#127	—	4	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
183	#108	—	4	16	no	—
184	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
186	#103	—	4	16	no	—
187	#102	—	4	16	no	—
188	#101	—	4	16	no	—
189	#100	—	4	16	no	—
190	#97	—	2	16	no	—
191	#97	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	16	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
195	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
196	C₄×C₈	C₂²⋊C₄	1	8	yes	—
197	#95	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂⁴	—	4	8	no	—
202	C₂⁴	—	8	8	no	—
203	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	16	no	—
220	C₂×D₄	—	4	8	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	8	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	8	no	—
231	C₂×D₄	—	4	8	no	—
232	C₂×D₄	—	8	8	no	—
233	C₂×D₄	—	8	16	no	—
234	C₂×D₄	—	8	16	no	—
235	C₂×D₄	—	8	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	SD₁₆	—	4	32	no	—
255	SD₁₆	—	4	32	no	—
256	M₁₆	—	2	8	no	—
257	M₁₆	—	2	4	no	—
258	M₁₆	—	4	4	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	#127	1	8	yes	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	8	no	—
265	C₂×C₈	—	4	4	no	—
266	C₂×C₈	—	4	4	no	—
267	C₂×C₈	—	4	2	no	—
268	C₂×C₈	—	4	2	no	—
269	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
270	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₄×D₄	1	16	yes	—
272	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
273	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
274	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
275	C₂×C₈	#127	1	8	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
279	C₄⋊C₄	#127	1	8	yes	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
281	C₄²	—	2	8	no	—
282	C₄²	—	4	8	no	—
283	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
284	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
285	C₄²	C₄×D₄	1	4	yes	—
286	C₄²	#121	1	2	yes	—
287	C₄²	#121	1	2	yes	—
288	C₄²	#127	1	4	yes	—
289	C₂³	—	2	4	no	—
290	C₂³	—	4	4	no	—
291	C₂³	—	4	8	no	—
292	C₂³	—	8	8	no	—
293	C₂³	—	8	8	no	—
294	C₂³	—	8	4	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	8	no	—
297	C₂³	—	16	16	no	—
298	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	#532	1	4	yes	—
302	Q₈	—	4	8	no	—
303	Q₈	—	4	8	no	—
304	Q₈	—	8	4	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	2	no	—
307	D₄	—	4	8	no	—
308	D₄	—	4	8	no	—
309	D₄	—	8	16	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	2	no	—
312	D₄	—	8	2	no	—
313	D₄	—	8	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
324	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	#471	1	8	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
339	C₈	—	2	8	no	—
340	C₈	—	8	2	no	—
341	C₈	—	8	2	no	—
342	C₈	#390	1	8	yes	—
343	C₈	#390	1	8	yes	—
344	C₂²	—	2	8	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	—	16	8	no	—
350	C₂²	—	16	8	no	—
351	C₂²	—	16	8	no	—
352	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₄×#127	1	2	yes	—
354	C₂²	#2856	1	2	yes	—
355	C₂²	#2858	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#471	1	4	yes	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	4	8	no	—
359	C₄	—	8	4	no	—
360	C₄	#1977	1	8	yes	complemented
361	C₄	C₂×#390	1	2	yes	—
362	C₄	C₄×#127	1	2	yes	—
363	C₄	#2856	1	2	yes	—
364	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
365	C₄	#2867	1	1	yes	characteristic
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	2	2	no	—
368	C₂	—	16	4	no	—
369	C₂	#14713	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂×#1977	1	2	yes	—
371	C₂	#33189	1	4	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator	C₂²×C₄	C₂³×C₄
Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21259	C₂	semidirect
4. C₂×#1977	C₂	semidirect
5. C₂×#1966	C₂	semidirect
7. C₂×#1848	C₂	semidirect
8. C₄×#405	C₂	semidirect
16. C₂×#492	C₄	semidirect
87. #405	D₄	semidirect
360. C₄	#1977	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#492	2
#21260	2
#21259	2
C₂×#1977	2
C₂×#1966	2
C₂×#1965	2
C₂×#1848	2
C₄×#405	2