Subgroups — #393823

Order 512.

1594 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 324 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1985	C₂	1	4	yes	maximal
3	C₂×#1842	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×C₄×#97	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#10835	C₂	1	4	yes	maximal
6	#10834	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
8	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#97	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
16	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
17	C₂×#391	C₄	1	2	yes	—
18	C₂×#389	C₄	1	2	yes	—
19	C₂×#389	C₄	1	2	yes	—
20	C₂×#384	C₄	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1985	—	2	16	no	—
25	#1842	—	2	4	no	—
26	C₂×#336	C₂²	1	16	yes	—
27	C₄×#97	—	2	4	no	—
28	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
29	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
30	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
31	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
32	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
33	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
35	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
36	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
43	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
56	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
57	C₂×#97	—	2	4	no	—
58	C₂×#97	—	2	4	no	—
59	C₂×#97	—	2	4	no	—
60	C₂×#97	—	2	4	no	—
61	C₂×#97	D₄	1	8	yes	—
62	C₂×#97	Q₈	1	8	yes	complemented
63	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	8	yes	complemented
66	#391	—	2	8	no	—
67	#389	—	2	8	no	—
68	#389	—	2	8	no	—
69	#384	—	2	4	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
72	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
73	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
74	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×#95	C₂×C₄	1	4	yes	—
76	C₄³	D₄	1	4	yes	—
77	C₄³	D₄	1	4	yes	—
78	#336	—	2	32	no	—
79	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
80	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
82	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
83	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
84	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
93	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
94	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
95	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
99	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
100	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
101	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
102	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
104	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
105	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
106	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	M₁₆	1	8	yes	—
120	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
122	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
130	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
140	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
141	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
144	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
145	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
146	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
147	#97	—	2	16	no	—
148	#97	—	2	16	no	—
149	C₄×C₈	—	2	16	no	—
150	#95	—	2	8	no	—
151	#95	—	2	8	no	—
152	C₂⁴	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
154	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
155	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
156	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
175	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
182	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	4	yes	—
183	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
184	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
185	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
186	C₂²×C₄	C₄×Q₈	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	8	yes	—
188	C₂²×C₄	C₂×M₁₆	1	4	yes	—
189	C₂²×C₄	#131	1	4	yes	—
190	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₈	—	2	8	no	—
199	C₂×C₈	—	2	8	no	—
200	C₂×C₈	—	2	8	no	—
201	C₂×C₈	—	2	8	no	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	—	2	8	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	4	no	—
206	C₂×C₈	—	4	4	no	—
207	C₂×C₈	—	4	16	no	—
208	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
209	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
211	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
212	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
215	C₄²	—	2	8	no	—
216	C₄²	—	2	8	no	—
217	C₄²	—	4	4	no	—
218	C₄²	—	4	4	no	—
219	C₄²	—	4	8	no	—
220	C₄²	—	4	4	no	—
221	C₄²	—	4	4	no	—
222	C₄²	#121	1	8	yes	—
223	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
224	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
225	C₄²	#124	1	4	yes	—
226	C₄²	#124	1	4	yes	—
227	C₄²	#124	1	4	yes	—
228	C₄²	#127	1	4	yes	—
229	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
230	C₄²	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
231	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
232	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
233	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
234	C₂³	C₂×C₄×Q₈	1	2	yes	—
235	C₂³	C₂²×M₁₆	1	2	yes	—
236	C₂³	C₂×#131	1	2	yes	—
237	C₂³	#568	1	2	yes	—
238	C₂³	#568	1	2	yes	—
239	Q₈	—	4	32	no	—
240	C₂×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂×C₄	—	2	2	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	2	8	no	—
252	C₂×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	16	no	—
257	C₂×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂×C₄	—	4	8	no	—
259	C₂×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂×C₄	—	4	16	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
265	C₂×C₄	#390	1	4	yes	—
266	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
267	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
268	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	#391	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	#407	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	#408	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	#446	1	16	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
277	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
285	C₂×C₄	#533	1	4	yes	—
286	C₈	—	2	16	no	—
287	C₈	—	8	4	no	—
288	C₂²	C₂×#390	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
290	C₂²	C₂×#391	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₄×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
292	C₂²	C₂×#407	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×#408	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#2879	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	D₄×M₁₆	1	4	yes	—
297	C₂²	#2935	1	4	yes	—
298	C₂²	C₂×#446	1	4	yes	—
299	C₂²	#2961	1	4	yes	—
300	C₂²	#2962	1	4	yes	—
301	C₂²	Q₈×M₁₆	1	4	yes	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	4	no	—
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	4	no	—
307	C₄	—	4	8	no	—
308	C₄	—	8	4	no	—
309	C₄	#1985	1	8	yes	complemented
310	C₄	#2857	1	4	yes	—
311	C₄	#2858	1	1	yes	characteristic
312	C₄	#2862	1	1	yes	characteristic
313	C₄	#2862	1	1	yes	characteristic
314	C₄	#2868	1	1	yes	characteristic
315	C₂	#14714	1	1	yes	characteristic
316	C₂	#21189	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#21190	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂×#1985	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#21301	1	1	yes	characteristic
320	C₂	#21302	1	1	yes	characteristic
321	C₂	#21303	1	1	yes	characteristic
322	C₂	#21713	1	8	yes	—

	subgroup	G/H
center, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
commutator, socle, prime radical	C₂⁴	C₂³×C₄
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
62. C₂×#97	Q₈	semidirect
65. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
208. C₂×C₈	C₄⋊Q₈	semidirect
309. C₄	#1985	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
C₂×#1985	2
C₂×#1842	2
C₂×C₄×#97	2
#10835	2
#10834	2