Subgroups — #39491

Order 256.

1235 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 302 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2710	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2619	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2563	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#2504	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2500	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2415	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2407	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2317	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2293	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂²×#41	C₂²	1	2	yes	—
16	#555	—	2	8	no	—
17	#547	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
36	#399	C₂²	1	4	yes	—
37	#397	C₂²	1	8	yes	—
38	#394	C₂²	1	8	yes	—
39	#394	C₂²	1	8	yes	—
40	#393	C₂²	1	4	yes	—
41	#392	C₂²	1	8	yes	—
42	#391	C₂²	1	4	yes	—
43	#391	C₂²	1	4	yes	—
44	#390	C₂²	1	4	yes	—
45	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#390	C₂²	1	2	yes	—
48	#390	C₂²	1	2	yes	—
49	#390	C₂²	1	2	yes	—
50	#389	C₂²	1	8	yes	—
51	#389	C₂²	1	2	yes	—
52	#388	C₂²	1	8	yes	—
53	#388	C₂²	1	4	yes	—
54	#386	C₂²	1	8	yes	—
55	#385	C₂²	1	8	yes	—
56	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#384	C₂²	1	2	yes	—
58	#382	C₂²	1	2	yes	—
59	#382	C₂²	1	2	yes	—
60	#382	C₂²	1	2	yes	—
61	#380	C₂²	1	4	yes	—
62	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#41	—	2	8	no	—
66	C₂×#41	—	4	8	no	—
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
79	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
80	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
81	#127	—	2	4	no	—
82	#124	—	2	16	no	—
83	#123	—	2	16	no	—
84	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
85	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
86	#121	—	2	8	no	—
87	#121	—	2	8	no	—
88	#121	—	2	8	no	—
89	C₄×D₄	—	2	4	no	—
90	C₄×D₄	—	2	4	no	—
91	C₄×D₄	—	4	8	no	—
92	C₄×D₄	D₄	1	8	yes	complemented
93	#117	—	2	8	no	—
94	#117	—	2	8	no	—
95	#117	—	2	8	no	—
96	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	2	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	#95	C₂³	1	8	yes	—
133	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
135	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
136	#41	—	4	32	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
141	C₂×D₄	—	2	8	no	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂×D₄	—	2	8	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂×D₄	—	2	4	no	—
149	C₂×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂×D₄	—	2	2	no	—
151	C₂×D₄	—	4	4	no	—
152	C₂×D₄	—	4	4	no	—
153	C₂×D₄	—	4	8	no	—
154	C₂×D₄	—	4	8	no	—
155	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
164	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
166	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
170	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
171	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
178	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
179	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
186	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
187	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
190	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
200	C₄²	—	2	8	no	—
201	C₄²	—	2	4	no	—
202	C₄²	—	2	4	no	—
203	C₄²	—	2	2	no	—
204	C₄²	—	4	2	no	—
205	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
206	C₄²	#41	1	4	yes	complemented
207	C₂³	—	2	2	no	—
208	C₂³	—	2	4	no	—
209	C₂³	—	2	2	no	—
210	C₂³	—	2	4	no	—
211	C₂³	—	2	2	no	—
212	C₂³	—	2	2	no	—
213	C₂³	—	2	2	no	—
214	C₂³	—	2	2	no	—
215	C₂³	—	2	4	no	—
216	C₂³	—	2	4	no	—
217	C₂³	—	2	2	no	—
218	C₂³	—	2	2	no	—
219	C₂³	—	2	4	no	—
220	C₂³	—	2	4	no	—
221	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
223	Q₈	—	4	8	no	—
224	Q₈	—	8	4	no	—
225	D₄	—	2	8	no	—
226	D₄	—	4	16	no	—
227	D₄	—	4	16	no	—
228	D₄	—	4	4	no	—
229	D₄	—	4	4	no	—
230	D₄	—	8	8	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	8	no	—
247	C₂×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	16	no	—
252	C₂×C₄	—	4	8	no	—
253	C₂×C₄	—	4	8	no	—
254	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
255	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
258	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
259	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
261	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
262	C₂²	—	2	4	no	—
263	C₂²	—	2	4	no	—
264	C₂²	—	2	4	no	—
265	C₂²	—	4	4	no	—
266	C₂²	—	4	4	no	—
267	C₂²	—	4	2	no	—
268	C₂²	—	4	2	no	—
269	C₂²	—	4	2	no	—
270	C₂²	—	4	2	no	—
271	C₂²	—	4	2	no	—
272	C₂²	—	4	2	no	—
273	C₂²	—	4	4	no	—
274	C₂²	—	4	4	no	—
275	C₂²	—	4	4	no	—
276	C₂²	—	4	4	no	—
277	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
279	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
280	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
281	C₂²	#585	1	2	yes	—
282	C₄	—	2	4	no	—
283	C₄	—	2	2	no	—
284	C₄	—	2	4	no	—
285	C₄	—	4	2	no	—
286	C₄	—	4	2	no	—
287	C₄	—	4	4	no	—
288	C₄	—	4	4	no	—
289	C₄	—	4	4	no	—
290	C₄	—	4	2	no	—
291	C₄	#535	1	4	yes	—
292	C₄	#547	1	4	yes	—
293	C₂	—	4	4	no	—
294	C₂	—	8	2	no	—
295	C₂	—	8	2	no	—
296	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
297	C₂	C₂×#547	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
299	C₂	#3506	1	2	yes	—
300	C₂	#3547	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#555	C₂	semidirect
2. C₂×#547	C₂	semidirect
3. #2862	C₂	semidirect
4. #2710	C₂	semidirect
5. #2619	C₂	semidirect
6. #2563	C₂	semidirect
7. #2542	C₂	semidirect
8. #2504	C₂	semidirect
9. #2500	C₂	semidirect
10. #2415	C₂	semidirect
11. #2407	C₂	semidirect
12. #2317	C₂	semidirect
13. C₄×#127	C₂	semidirect
14. #2293	C₂	semidirect
92. C₄×D₄	D₄	semidirect
206. C₄²	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#555	2
C₂×#547	2
#2862	2
#2710	2
#2619	2
#2563	2
#2542	2
#2504	2
#2500	2
#2415	2
#2407	2
#2317	2
C₄×#127	2
#2293	2