Subgroups — #39596

Order 256.

1178 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2720	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2692	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2628	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2580	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2546	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2542	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2492	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2434	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2409	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2355	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2324	C₂	1	2	yes	maximal
17	C₄×#121	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
20	#533	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#400	C₂²	1	4	yes	—
44	#399	C₂²	1	4	yes	—
45	#399	C₂²	1	4	yes	—
46	#398	C₂²	1	4	yes	—
47	#396	C₂²	1	4	yes	—
48	#395	C₂²	1	4	yes	—
49	#395	C₂²	1	4	yes	—
50	#395	C₂²	1	4	yes	—
51	#393	C₂²	1	4	yes	—
52	#393	C₂²	1	4	yes	—
53	#391	C₂²	1	4	yes	—
54	#391	C₂²	1	2	yes	—
55	#391	C₂²	1	2	yes	—
56	#391	C₂²	1	2	yes	—
57	#390	C₂²	1	2	yes	—
58	#390	C₂²	1	4	yes	—
59	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#389	C₂²	1	2	yes	—
62	#389	C₂²	1	2	yes	—
63	#389	C₂²	1	2	yes	—
64	#389	C₂²	1	2	yes	—
65	#389	C₂²	1	2	yes	—
66	#388	C₂²	1	4	yes	—
67	#388	C₂²	1	2	yes	—
68	#387	C₂²	1	4	yes	—
69	#386	C₂²	1	4	yes	—
70	#386	C₂²	1	2	yes	—
71	#385	C₂²	1	4	yes	—
72	#385	C₂²	1	4	yes	—
73	#385	C₂²	1	4	yes	—
74	#384	C₂²	1	4	yes	—
75	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#382	C₂²	1	2	yes	—
77	#380	C₂²	1	2	yes	—
78	#380	C₂²	1	2	yes	—
79	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#380	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
86	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
105	#125	—	2	8	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
113	#121	Q₈	1	8	yes	complemented
114	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
117	C₄×D₄	—	2	4	no	—
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	4	4	no	—
120	#117	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	2	yes	—
166	#95	C₂³	1	4	yes	—
167	#95	C₂³	1	4	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	4	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
176	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
192	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	4	2	no	—
196	C₂×D₄	—	4	2	no	—
197	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
250	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	complemented
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	2	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	2	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	1	no	—
280	C₂³	—	2	2	no	—
281	C₂³	—	2	2	no	—
282	C₂³	—	2	1	no	—
283	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
285	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
286	Q₈	—	2	8	no	—
287	Q₈	—	4	8	no	—
288	Q₈	—	4	16	no	—
289	Q₈	—	4	4	no	—
290	Q₈	—	4	8	no	—
291	D₄	—	2	8	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	16	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
343	C₂²	—	2	2	no	—
344	C₂²	—	2	4	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	4	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	4	no	—
349	C₂²	—	4	2	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	1	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	—	4	1	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	4	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	1	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	4	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	#535	1	4	yes	—
378	C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
379	C₂	—	4	2	no	—
380	C₂	—	4	4	no	—
381	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
382	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#3489	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#3501	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#3503	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#3550	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#3554	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#121	C₂²
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×D₄×Q₈	C₂	semidirect
2. C₂×#533	C₂	semidirect
3. #2857	C₂	semidirect
4. #2720	C₂	semidirect
5. #2692	C₂	semidirect
6. #2628	C₂	semidirect
7. #2580	C₂	semidirect
8. #2567	C₂	semidirect
9. #2546	C₂	semidirect
10. #2542	C₂	semidirect
11. #2538	C₂	semidirect
12. #2492	C₂	semidirect
13. #2434	C₂	semidirect
14. #2409	C₂	semidirect
15. #2355	C₂	semidirect
113. #121	Q₈	semidirect
116. C₄×Q₈	D₄	semidirect
198. C₂×D₄	C₂×Q₈	semidirect
213. C₂²×C₄	C₂×Q₈	semidirect
251. C₄⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
262. C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×D₄×Q₈	2
C₂×#533	2
#2857	2
#2720	2
#2692	2
#2628	2
#2580	2
#2567	2
#2546	2
#2542	2
#2538	2
#2492	2
#2434	2
#2409	2
#2355	2
#2324	2
C₄×#121	2