Subgroups — #39616

Order 256.

1141 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2720	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#2660	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#2567	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2566	C₂	1	2	yes	maximal
9	#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#2434	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#2429	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#2326	C₂	1	2	yes	maximal
13	C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂³×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#557	—	2	8	no	—
17	D₄×Q₈	—	2	8	no	—
18	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#125	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#400	C₂²	1	4	yes	—
36	#399	C₂²	1	4	yes	—
37	#398	C₂²	1	8	yes	—
38	#396	C₂²	1	8	yes	—
39	#395	C₂²	1	8	yes	—
40	#395	C₂²	1	8	yes	—
41	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#391	C₂²	1	2	yes	—
43	#391	C₂²	1	4	yes	—
44	#391	C₂²	1	2	yes	—
45	#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#390	C₂²	1	2	yes	—
47	#389	C₂²	1	8	yes	—
48	#389	C₂²	1	2	yes	—
49	#388	C₂²	1	8	yes	—
50	#388	C₂²	1	4	yes	—
51	#387	C₂²	1	4	yes	—
52	#385	C₂²	1	8	yes	—
53	#385	C₂²	1	8	yes	—
54	#384	C₂²	1	2	yes	—
55	#384	C₂²	1	2	yes	—
56	#384	C₂²	1	2	yes	—
57	#384	C₂²	1	4	yes	—
58	#382	C₂²	1	2	yes	—
59	#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
61	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
63	#376	C₂²	1	2	yes	—
64	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
66	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
67	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
75	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
76	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
77	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
78	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
79	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
80	#125	—	2	16	no	—
81	#125	—	2	8	no	—
82	#124	Q₈	1	8	yes	complemented
83	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
84	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
85	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
86	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
87	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
89	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
90	C₄×D₄	—	2	8	no	—
91	C₄×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
113	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
114	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
116	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
117	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
118	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#95	C₂³	1	4	yes	—
125	#95	C₂³	1	4	yes	—
126	#95	C₂³	1	4	yes	—
127	#95	C₂³	1	4	yes	—
128	#95	C₂³	1	4	yes	—
129	#95	C₂³	1	2	yes	—
130	#95	C₂³	1	8	yes	—
131	#95	C₂³	1	8	yes	—
132	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
136	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
140	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
142	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
143	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
145	C₂×D₄	—	2	2	no	—
146	C₂×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
149	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
151	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
157	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
158	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
160	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
161	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
172	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
174	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
178	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
179	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
180	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
181	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
184	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
187	C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	complemented
188	C₄²	—	2	8	no	—
189	C₄²	—	2	4	no	—
190	C₄²	—	2	4	no	—
191	C₄²	—	2	4	no	—
192	C₄²	—	2	2	no	—
193	C₄²	—	2	4	no	—
194	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
195	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
196	C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	complemented
197	C₂³	—	2	2	no	—
198	C₂³	—	2	4	no	—
199	C₂³	—	2	4	no	—
200	C₂³	—	2	2	no	—
201	C₂³	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
202	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
203	Q₈	—	2	8	no	—
204	Q₈	—	2	8	no	—
205	Q₈	—	4	16	no	—
206	Q₈	—	4	8	no	—
207	Q₈	—	4	8	no	—
208	D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄	—	2	8	no	—
224	C₂×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	4	16	no	—
230	C₂×C₄	—	4	8	no	—
231	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
234	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
235	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
236	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
238	C₂×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
239	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
240	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
241	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
242	C₂²	—	2	4	no	—
243	C₂²	—	2	8	no	—
244	C₂²	—	4	2	no	—
245	C₂²	—	4	2	no	—
246	C₂²	—	4	4	no	—
247	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₂²	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
249	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
252	C₄	—	2	4	no	—
253	C₄	—	2	4	no	—
254	C₄	—	2	2	no	—
255	C₄	—	2	4	no	—
256	C₄	—	2	4	no	—
257	C₄	—	2	4	no	—
258	C₄	—	4	2	no	—
259	C₄	—	4	4	no	—
260	C₄	—	4	4	no	—
261	C₄	—	4	2	no	—
262	C₄	—	4	4	no	—
263	C₄	#535	1	4	yes	—
264	C₄	D₄×Q₈	1	4	yes	—
265	C₂	—	4	4	no	—
266	C₂	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
267	C₂	C₂×D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
268	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#3503	1	2	yes	—
270	C₂	#3552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂²×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#557	C₂	semidirect
3. #2868	C₂	semidirect
4. #2720	C₂	semidirect
5. #2660	C₂	semidirect
6. #2568	C₂	semidirect
7. #2567	C₂	semidirect
10. #2434	C₂	semidirect
11. #2429	C₂	semidirect
14. #2295	C₂	semidirect
82. #124	Q₈	semidirect
144. C₂×Q₈	C₂×Q₈	semidirect
187. C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	semidirect
196. C₄²	C₂×Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#557	2
C₂×D₄×Q₈	2
#2868	2
#2720	2
#2660	2
#2568	2
#2567	2
#2566	2
#2542	2
#2434	2
#2429	2
#2326	2
C₄×#124	2
#2295	2