Subgroups — #39721

Order 256.

1226 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2854	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#2731	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2729	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2591	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2579	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#2446	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2432	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2429	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2409	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2322	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×#123	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂²×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#548	—	2	8	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
23	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#123	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#123	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#121	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#400	C₂²	1	4	yes	—
44	#398	C₂²	1	4	yes	—
45	#398	C₂²	1	4	yes	—
46	#396	C₂²	1	4	yes	—
47	#396	C₂²	1	4	yes	—
48	#396	C₂²	1	4	yes	—
49	#395	C₂²	1	2	yes	—
50	#394	C₂²	1	4	yes	—
51	#394	C₂²	1	4	yes	—
52	#393	C₂²	1	2	yes	—
53	#393	C₂²	1	4	yes	—
54	#391	C₂²	1	2	yes	—
55	#391	C₂²	1	4	yes	—
56	#391	C₂²	1	2	yes	—
57	#391	C₂²	1	2	yes	—
58	#390	C₂²	1	2	yes	—
59	#389	C₂²	1	4	yes	—
60	#389	C₂²	1	2	yes	—
61	#388	C₂²	1	4	yes	—
62	#388	C₂²	1	4	yes	—
63	#388	C₂²	1	4	yes	—
64	#388	C₂²	1	4	yes	—
65	#388	C₂²	1	2	yes	—
66	#387	C₂²	1	4	yes	—
67	#387	C₂²	1	4	yes	—
68	#387	C₂²	1	2	yes	—
69	#386	C₂²	1	2	yes	—
70	#386	C₂²	1	2	yes	—
71	#386	C₂²	1	2	yes	—
72	#386	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#386	C₂²	1	2	yes	—
74	#385	C₂²	1	2	yes	—
75	#385	C₂²	1	4	yes	—
76	#385	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#385	C₂²	1	4	yes	—
78	#381	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#380	C₂²	1	2	yes	—
80	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂×#41	—	2	4	no	—
86	C₂×#41	—	4	4	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	D₄	1	8	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
110	#124	—	2	4	no	—
111	#124	—	2	8	no	—
112	#124	—	4	4	no	—
113	#123	—	2	8	no	—
114	#123	—	2	4	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
118	#121	—	2	4	no	—
119	#121	—	2	8	no	—
120	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	4	no	—
123	C₄×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
163	#95	C₂³	1	2	yes	—
164	#95	C₂³	1	2	yes	—
165	#95	C₂³	1	4	yes	—
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	2	yes	—
171	#95	C₂³	1	4	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	#95	C₂³	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂⁴	C₂⁴	1	2	yes	—
178	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	#41	—	4	16	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
190	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
191	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
192	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	2	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	2	no	—
199	C₂×D₄	—	2	4	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	complemented
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄²	—	2	4	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	4	4	no	—
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	2	no	—
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	1	no	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	1	no	—
279	C₂³	—	2	2	no	—
280	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
282	C₂³	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
283	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
284	Q₈	—	2	8	no	—
285	Q₈	—	2	8	no	—
286	Q₈	—	4	8	no	—
287	Q₈	—	4	8	no	—
288	Q₈	—	4	8	no	—
289	D₄	—	4	8	no	—
290	D₄	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	8	no	—
294	C₂×C₄	—	2	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	1	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	8	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
334	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
336	C₂²	—	2	2	no	—
337	C₂²	—	2	2	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	4	2	no	—
341	C₂²	—	4	1	no	—
342	C₂²	—	4	2	no	—
343	C₂²	—	4	1	no	—
344	C₂²	—	4	2	no	—
345	C₂²	—	4	1	no	—
346	C₂²	—	4	2	no	—
347	C₂²	—	4	4	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	4	4	no	—
350	C₂²	#548	1	4	yes	—
351	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	2	4	no	—
360	C₄	—	2	4	no	—
361	C₄	—	4	1	no	—
362	C₄	—	4	4	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	1	no	—
365	C₄	—	4	1	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	#534	1	4	yes	—
370	C₂	—	2	4	no	—
371	C₂	—	8	2	no	—
372	C₂	—	8	1	no	—
373	C₂	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3511	1	2	yes	—
377	C₂	#3552	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	C₂×#548	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
3. #2854	C₂	semidirect
4. #2731	C₂	semidirect
5. #2729	C₂	semidirect
6. #2618	C₂	semidirect
7. #2591	C₂	semidirect
8. #2579	C₂	semidirect
9. #2545	C₂	semidirect
10. #2446	C₂	semidirect
11. #2436	C₂	semidirect
12. #2432	C₂	semidirect
13. #2429	C₂	semidirect
14. #2409	C₂	semidirect
15. Q₈×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
16. #2322	C₂	semidirect
17. C₄×#123	C₂	semidirect
217. C₂²×C₄	#41	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#548	2
C₂²×C₄⋊Q₈	2
#2854	2
#2731	2
#2729	2
#2618	2
#2591	2
#2579	2
#2545	2
#2446	2
#2436	2
#2432	2
#2429	2
#2409	2
Q₈×C₂²⋊C₄	2
#2322	2
C₄×#123	2