Subgroups — #39726

Order 256.

1146 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 390 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2856	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#2707	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2681	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#2620	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2592	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2582	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#2548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#2538	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#2452	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2427	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#2426	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	Q₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#2324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#559	—	2	8	no	—
19	#533	—	2	8	no	—
20	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#398	C₂²	1	4	yes	—
46	#397	C₂²	1	4	yes	—
47	#396	C₂²	1	4	yes	—
48	#396	C₂²	1	4	yes	—
49	#396	C₂²	1	4	yes	—
50	#396	C₂²	1	4	yes	—
51	#394	C₂²	1	4	yes	—
52	#394	C₂²	1	4	yes	—
53	#394	C₂²	1	4	yes	—
54	#393	C₂²	1	4	yes	—
55	#391	C₂²	1	2	yes	—
56	#391	C₂²	1	2	yes	—
57	#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#390	C₂²	1	2	yes	—
59	#390	C₂²	1	4	yes	—
60	#390	C₂²	1	2	yes	—
61	#390	C₂²	1	2	yes	—
62	#390	C₂²	1	2	yes	—
63	#390	C₂²	1	2	yes	—
64	#390	C₂²	1	2	yes	—
65	#389	C₂²	1	2	yes	—
66	#389	C₂²	1	2	yes	—
67	#389	C₂²	1	4	yes	—
68	#389	C₂²	1	2	yes	—
69	#389	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#388	C₂²	1	4	yes	—
71	#388	C₂²	1	4	yes	—
72	#388	C₂²	1	4	yes	—
73	#387	C₂²	1	2	yes	—
74	#386	C₂²	1	4	yes	—
75	#385	C₂²	1	4	yes	—
76	#385	C₂²	1	2	yes	—
77	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#384	C₂²	1	2	yes	—
79	#380	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#380	C₂²	1	4	yes	—
81	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
83	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
85	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
99	#127	—	2	4	no	—
100	#125	—	2	8	no	—
101	#124	—	2	8	no	—
102	#124	—	2	8	no	—
103	#124	—	4	4	no	—
104	#123	—	2	16	no	—
105	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
109	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
110	#121	—	2	8	no	—
111	#121	—	4	4	no	—
112	#121	—	4	4	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
116	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
117	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
118	C₄×D₄	—	2	8	no	—
119	C₄×D₄	—	2	8	no	—
120	#117	—	2	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#95	C₂³	1	2	yes	—
167	#95	C₂³	1	2	yes	—
168	#95	C₂³	1	2	yes	—
169	#95	C₂³	1	4	yes	—
170	#95	C₂³	1	2	yes	—
171	#95	C₂³	1	2	yes	—
172	#95	C₂³	1	4	yes	—
173	#95	C₂³	1	4	yes	—
174	#95	C₂³	1	4	yes	—
175	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
184	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
187	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
188	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
189	C₂×D₄	—	2	8	no	—
190	C₂×D₄	—	2	4	no	—
191	C₂×D₄	—	2	4	no	—
192	C₂×D₄	—	2	4	no	—
193	C₂×D₄	—	2	4	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	4	2	no	—
198	C₂×D₄	—	4	4	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	#41	1	4	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
248	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	4	no	—
270	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
272	C₂³	—	2	1	no	—
273	C₂³	—	2	1	no	—
274	C₂³	—	2	1	no	—
275	C₂³	—	2	1	no	—
276	C₂³	—	2	1	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	2	4	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	4	no	—
283	C₂³	—	2	4	no	—
284	C₂³	—	2	4	no	—
285	C₂³	C₂×#41	1	2	yes	—
286	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	8	no	—
288	Q₈	—	4	8	no	—
289	Q₈	—	4	4	no	—
290	Q₈	—	4	4	no	—
291	D₄	—	4	8	no	—
292	D₄	—	4	8	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	8	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	8	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	1	no	—
349	C₂²	—	4	1	no	—
350	C₂²	—	4	1	no	—
351	C₂²	—	4	4	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	4	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#585	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	2	no	—
369	C₄	—	2	4	no	—
370	C₄	—	4	1	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	2	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	4	4	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	#537	1	4	yes	—
379	C₄	#548	1	4	yes	—
380	C₂	—	4	2	no	—
381	C₂	—	8	4	no	—
382	C₂	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
383	C₂	C₂×#548	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#3488	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#3507	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#3508	1	1	yes	characteristic
387	C₂	#3550	1	1	yes	characteristic
388	C₂	#3554	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
prime radical	#2856	C₂
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#559	C₂	semidirect
2. C₂×#533	C₂	semidirect
4. #2707	C₂	semidirect
5. #2681	C₂	semidirect
6. #2620	C₂	semidirect
7. #2592	C₂	semidirect
8. #2582	C₂	semidirect
9. #2548	C₂	semidirect
10. #2545	C₂	semidirect
11. #2538	C₂	semidirect
12. #2452	C₂	semidirect
13. #2427	C₂	semidirect
14. #2426	C₂	semidirect
15. Q₈×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
16. #2324	C₂	semidirect
17. C₄×C₂²⋊Q₈	C₂	semidirect
117. C₄×Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#559	2
C₂×#533	2
#2856	2
#2707	2
#2681	2
#2620	2
#2592	2
#2582	2
#2548	2
#2545	2
#2538	2
#2452	2
#2427	2
#2426	2
Q₈×C₄⋊C₄	2
#2324	2
C₄×C₂²⋊Q₈	2