Subgroups — #39739

Order 256.

1255 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 263 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#559	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#2733	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#2682	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#2657	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#2545	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#2544	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#2541	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#2456	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	#2326	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#2295	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#559	—	2	16	no	—
14	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#127	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#124	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#123	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#121	C₂²	1	8	yes	—
27	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
33	#396	C₂²	1	8	yes	—
34	#394	C₂²	1	8	yes	—
35	#392	C₂²	1	8	yes	—
36	#392	C₂²	1	8	yes	—
37	#392	C₂²	1	8	yes	—
38	#391	C₂²	1	2	yes	—
39	#391	C₂²	1	2	yes	—
40	#390	C₂²	1	4	yes	—
41	#390	C₂²	1	2	yes	—
42	#390	C₂²	1	2	yes	—
43	#390	C₂²	1	4	yes	—
44	#390	C₂²	1	4	yes	—
45	#389	C₂²	1	2	yes	—
46	#388	C₂²	1	8	yes	—
47	#388	C₂²	1	8	yes	—
48	#387	C₂²	1	4	yes	—
49	#386	C₂²	1	8	yes	—
50	#385	C₂²	1	8	yes	—
51	#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
53	C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#376	C₂²	1	2	yes	—
55	C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
62	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×D₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂³×C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
68	#127	—	2	8	no	—
69	#127	—	2	4	no	—
70	#127	—	4	4	no	—
71	#127	—	4	2	no	—
72	#124	—	2	16	no	—
73	#124	—	2	8	no	—
74	#124	—	2	8	no	—
75	#124	—	2	8	no	—
76	#124	—	4	4	no	—
77	#123	—	2	16	no	—
78	#123	—	2	16	no	—
79	#121	—	4	16	no	—
80	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
81	C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	complemented
82	C₄×D₄	—	2	16	no	—
83	C₄×D₄	—	2	8	no	—
84	C₄×D₄	—	2	8	no	—
85	C₄×D₄	—	4	8	no	—
86	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
104	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#95	C₂³	1	4	yes	—
113	#95	C₂³	1	4	yes	—
114	#95	C₂³	1	2	yes	—
115	#95	C₂³	1	4	yes	—
116	#95	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
118	C₂⁴	C₂⁴	1	4	yes	—
119	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
120	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
123	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂×D₄	—	2	8	no	—
125	C₂×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂×D₄	—	2	4	no	—
127	C₂×D₄	—	2	8	no	—
128	C₂×D₄	—	2	4	no	—
129	C₂×D₄	—	2	8	no	—
130	C₂×D₄	—	2	4	no	—
131	C₂×D₄	—	2	4	no	—
132	C₂×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂×D₄	—	2	8	no	—
134	C₂×D₄	—	4	4	no	—
135	C₂×D₄	—	4	4	no	—
136	C₂×D₄	—	4	8	no	—
137	C₂×D₄	—	4	8	no	—
138	C₂×D₄	—	4	8	no	—
139	C₂×D₄	—	4	4	no	—
140	C₂×D₄	—	4	8	no	—
141	C₂×D₄	—	4	4	no	—
142	C₂×D₄	—	4	8	no	—
143	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
145	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
146	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
147	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
150	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
153	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
155	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
156	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
157	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
162	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
175	C₄²	—	2	8	no	—
176	C₄²	—	2	4	no	—
177	C₄²	—	2	4	no	—
178	C₄²	—	2	2	no	—
179	C₄²	—	4	2	no	—
180	C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
182	C₄²	#41	1	4	yes	—
183	C₂³	—	2	4	no	—
184	C₂³	—	2	4	no	—
185	C₂³	—	2	4	no	—
186	C₂³	—	2	4	no	—
187	C₂³	—	2	8	no	—
188	C₂³	—	2	4	no	—
189	C₂³	—	2	8	no	—
190	C₂³	—	2	4	no	—
191	C₂³	—	2	8	no	—
192	C₂³	—	2	8	no	—
193	C₂³	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
194	Q₈	—	4	4	no	—
195	Q₈	—	4	8	no	—
196	D₄	—	4	16	no	—
197	D₄	—	4	16	no	—
198	D₄	—	4	8	no	—
199	D₄	—	4	8	no	—
200	D₄	—	8	8	no	—
201	D₄	—	8	8	no	—
202	D₄	—	8	16	no	—
203	C₂×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	2	8	no	—
216	C₂×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂×C₄	—	8	8	no	—
220	C₂×C₄	—	8	8	no	—
221	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
227	C₂×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
229	C₂×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
230	C₂²	—	4	4	no	—
231	C₂²	—	4	4	no	—
232	C₂²	—	4	4	no	—
233	C₂²	—	4	4	no	—
234	C₂²	—	4	4	no	—
235	C₂²	—	4	4	no	—
236	C₂²	—	4	8	no	—
237	C₂²	—	4	8	no	—
238	C₂²	—	4	8	no	—
239	C₂²	—	4	8	no	—
240	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂²	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
242	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
243	C₂²	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	C₂²	#585	1	2	yes	—
245	C₄	—	2	4	no	—
246	C₄	—	2	2	no	—
247	C₄	—	2	2	no	—
248	C₄	—	2	4	no	—
249	C₄	—	2	4	no	—
250	C₄	—	2	4	no	—
251	C₄	—	4	4	no	—
252	C₄	—	4	4	no	—
253	C₄	—	4	4	no	—
254	C₄	#550	1	4	yes	—
255	C₂	—	8	4	no	—
256	C₂	—	8	4	no	—
257	C₂	#3449	1	1	yes	characteristic
258	C₂	C₂×#550	1	1	yes	characteristic
259	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
260	C₂	#3506	1	2	yes	—
261	C₂	#3558	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂³	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂³ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#559	C₂	semidirect
2. #2858	C₂	semidirect
3. #2733	C₂	semidirect
4. #2682	C₂	semidirect
5. #2657	C₂	semidirect
6. #2545	C₂	semidirect
7. #2544	C₂	semidirect
8. #2541	C₂	semidirect
9. #2456	C₂	semidirect
10. #2326	C₂	semidirect
11. C₄×#127	C₂	semidirect
12. #2295	C₂	semidirect
81. C₄×Q₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#559	2
#2858	2
#2733	2
#2682	2
#2657	2
#2545	2
#2544	2
#2541	2
#2456	2
#2326	2
C₄×#127	2
#2295	2