Subgroups — #399110

Order 512.

1284 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 452 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#23646	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20952	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20900	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11376	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11111	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10747	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#3428	C₂²	1	2	yes	—
13	#2913	—	2	2	no	—
14	#2913	—	2	2	no	—
15	#2912	—	2	4	no	—
16	#2911	—	2	2	no	—
17	#2911	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#427	—	2	2	no	—
19	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
20	#2896	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2079	—	2	4	no	—
26	#2078	—	2	2	no	—
27	#2078	—	2	2	no	—
28	#1888	—	2	2	no	—
29	#1887	—	2	2	no	—
30	#1886	—	2	2	no	—
31	#1885	—	2	2	no	—
32	#1870	—	2	2	no	—
33	#1869	—	2	2	no	—
34	#1742	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	4	yes	—
39	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	—	2	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#532	—	2	4	no	—
55	#532	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#124	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#121	—	2	2	no	—
61	#520	—	2	4	no	—
62	#520	—	2	4	no	—
63	#519	—	2	2	no	—
64	#518	—	2	4	no	—
65	#518	—	2	2	no	—
66	C₄×#41	—	4	4	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
68	C₂×#117	—	2	4	no	—
69	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#428	—	2	8	no	—
72	#428	—	2	8	no	—
73	#428	—	2	4	no	—
74	#428	—	2	4	no	—
75	#427	—	2	4	no	—
76	#427	—	2	4	no	—
77	#427	—	2	2	no	—
78	#427	—	2	4	no	—
79	#427	—	2	2	no	—
80	#427	—	2	2	no	—
81	#427	—	2	2	no	—
82	C₂×#107	—	2	2	no	—
83	C₂×#107	—	2	2	no	—
84	C₂×#107	D₄	1	2	yes	complemented
85	C₂×#107	D₄	1	2	yes	complemented
86	C₂×#106	—	2	4	no	—
87	C₂×#106	D₄	1	4	yes	complemented
88	#419	—	2	4	no	—
89	#418	—	2	4	no	—
90	#417	—	2	4	no	—
91	#417	—	2	4	no	—
92	#416	—	4	4	no	—
93	#413	—	2	4	no	—
94	#413	—	2	4	no	—
95	C₂×#101	—	2	2	no	—
96	C₂×#100	—	2	2	no	—
97	#408	—	2	4	no	—
98	#408	—	2	4	no	—
99	#408	—	2	2	no	—
100	#408	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
102	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
104	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
105	#343	—	2	4	no	—
106	#343	—	2	4	no	—
107	#341	—	2	2	no	—
108	#341	—	2	2	no	—
109	#339	—	2	4	no	—
110	#339	—	2	4	no	—
111	#338	—	2	4	no	—
112	#336	—	2	1	no	—
113	#336	—	2	2	no	—
114	#336	—	2	1	no	—
115	#336	—	4	4	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	2	no	—
123	C₂×#41	—	2	2	no	—
124	C₂×#41	—	2	2	no	—
125	C₂×#41	—	2	2	no	—
126	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
127	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
128	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
131	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
132	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
135	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
138	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
139	#131	—	2	16	no	—
140	#131	—	2	16	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
156	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
174	#127	—	2	4	no	—
175	#124	—	2	4	no	—
176	#124	—	2	4	no	—
177	#121	—	4	8	no	—
178	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
179	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
180	C₄×D₄	—	4	4	no	—
181	C₄×D₄	—	4	4	no	—
182	C₄×D₄	—	4	8	no	—
183	C₄×D₄	—	4	8	no	—
184	C₄×D₄	—	4	4	no	—
185	C₄×D₄	—	4	4	no	—
186	#117	—	2	8	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	4	no	—
190	#117	—	2	4	no	—
191	#117	—	4	4	no	—
192	#117	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
202	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
203	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
204	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
207	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	#107	—	2	4	no	—
210	#107	—	2	4	no	—
211	#107	—	2	2	no	—
212	#107	—	2	2	no	—
213	#107	—	2	2	no	—
214	#107	—	2	2	no	—
215	#106	—	2	8	no	—
216	#106	—	2	4	no	—
217	#106	—	2	4	no	—
218	#103	—	4	4	no	—
219	#103	—	4	4	no	—
220	#102	—	4	4	no	—
221	#102	—	4	4	no	—
222	#101	—	4	4	no	—
223	#100	—	4	4	no	—
224	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
225	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	4	1	no	—
228	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
229	C₂⁴	—	2	1	no	—
230	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
231	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	#41	—	2	8	no	—
233	#41	—	2	8	no	—
234	#41	—	2	8	no	—
235	#41	—	2	8	no	—
236	#41	—	4	4	no	—
237	#41	—	4	4	no	—
238	#41	—	4	4	no	—
239	#41	—	4	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	#123	1	4	yes	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	2	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	2	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	8	2	no	—
259	C₂×D₄	#123	1	4	yes	—
260	C₂×D₄	#126	1	8	yes	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
281	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
292	M₁₆	—	2	16	no	—
293	M₁₆	—	2	8	no	—
294	M₁₆	—	4	4	no	—
295	M₁₆	—	4	4	no	—
296	M₁₆	—	4	4	no	—
297	M₁₆	—	4	4	no	—
298	M₁₆	—	4	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	8	no	—
300	C₂×C₈	—	2	8	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	1	no	—
303	C₂×C₈	—	2	1	no	—
304	C₂×C₈	—	2	1	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	4	no	—
308	C₂×C₈	—	2	4	no	—
309	C₂×C₈	—	4	1	no	—
310	C₂×C₈	—	4	1	no	—
311	C₂×C₈	—	4	1	no	—
312	C₂×C₈	—	4	1	no	—
313	C₂×C₈	—	4	1	no	—
314	C₂×C₈	—	4	1	no	—
315	C₂×C₈	—	4	4	no	—
316	C₂×C₈	—	4	4	no	—
317	C₂×C₈	—	4	4	no	—
318	C₂×C₈	—	4	4	no	—
319	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
321	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
323	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₄²	—	2	2	no	—
336	C₄²	—	2	2	no	—
337	C₄²	—	4	8	no	—
338	C₄²	—	4	1	no	—
339	C₄²	—	4	1	no	—
340	C₄²	—	4	4	no	—
341	C₄²	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	2	2	no	—
343	C₂³	—	2	2	no	—
344	C₂³	—	4	1	no	—
345	C₂³	—	4	1	no	—
346	C₂³	—	4	2	no	—
347	C₂³	—	4	2	no	—
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	4	2	no	—
350	C₂³	—	4	1	no	—
351	C₂³	—	4	1	no	—
352	C₂³	—	4	1	no	—
353	C₂³	#397	1	4	yes	—
354	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
356	C₂³	#546	1	2	yes	—
357	C₂³	#552	1	2	yes	—
358	Q₈	—	2	8	no	—
359	Q₈	—	4	4	no	—
360	D₄	—	2	16	no	—
361	D₄	—	2	8	no	—
362	D₄	—	4	4	no	—
363	D₄	—	8	8	no	—
364	D₄	—	8	4	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	2	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	1	no	—
374	C₂×C₄	—	4	1	no	—
375	C₂×C₄	—	4	1	no	—
376	C₂×C₄	—	4	1	no	—
377	C₂×C₄	—	4	1	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	4	1	no	—
381	C₂×C₄	—	4	1	no	—
382	C₂×C₄	—	8	4	no	—
383	C₂×C₄	—	8	1	no	—
384	C₂×C₄	—	8	1	no	—
385	C₂×C₄	—	8	1	no	—
386	C₂×C₄	—	8	1	no	—
387	C₂×C₄	—	8	4	no	—
388	C₂×C₄	—	8	4	no	—
389	C₂×C₄	—	16	4	no	—
390	C₂×C₄	—	16	4	no	—
391	C₂×C₄	#397	1	4	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
400	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
401	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#548	1	4	yes	—
404	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
405	C₈	—	2	1	no	—
406	C₈	—	2	1	no	—
407	C₈	—	2	2	no	—
408	C₈	—	2	4	no	—
409	C₈	—	8	1	no	—
410	C₈	—	8	4	no	—
411	C₈	—	8	1	no	—
412	C₂²	—	2	1	no	—
413	C₂²	—	2	2	no	—
414	C₂²	—	2	1	no	—
415	C₂²	—	2	2	no	—
416	C₂²	—	2	4	no	—
417	C₂²	—	4	2	no	—
418	C₂²	—	4	2	no	—
419	C₂²	—	4	4	no	—
420	C₂²	—	4	2	no	—
421	C₂²	—	4	2	no	—
422	C₂²	—	8	2	no	—
423	C₂²	—	8	2	no	—
424	C₂²	—	8	2	no	—
425	C₂²	—	8	1	no	—
426	C₂²	—	8	1	no	—
427	C₂²	—	8	1	no	—
428	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
429	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
430	C₂²	#2481	1	4	yes	—
431	C₂²	#2486	1	1	yes	characteristic
432	C₄	—	2	4	no	—
433	C₄	—	4	2	no	—
434	C₄	—	8	1	no	—
435	C₄	—	8	1	no	—
436	C₄	—	8	4	no	—
437	C₄	—	8	4	no	—
438	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
439	C₄	#2443	1	4	yes	—
440	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#2623	1	1	yes	characteristic
442	C₄	#2849	1	1	yes	characteristic
443	C₂	—	2	1	no	—
444	C₂	—	2	1	no	—
445	C₂	—	2	4	no	—
446	C₂	—	4	4	no	—
447	C₂	—	16	1	no	—
448	C₂	#14776	1	1	yes	characteristic
449	C₂	#24287	1	1	yes	characteristic
450	C₂	#24288	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2408
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60108	C₂	semidirect
2. #23646	C₂	semidirect
5. #11376	C₂	semidirect
6. #11294	C₂	semidirect
7. #11111	C₂	semidirect
8. #10760	C₂	semidirect
9. #10747	C₂	semidirect
84. C₂×#107	D₄	semidirect
85. C₂×#107	D₄	semidirect
87. C₂×#106	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60108	2
#23646	2
#20952	2
#20900	2
#11376	2
#11294	2
#11111	2
#10760	2
#10747	2