Subgroups — #399173

Order 512.

1348 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2916	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2098	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1884	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20900	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	C₂×#1868	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11108	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10759	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#568	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2916	—	2	8	no	—
14	C₂×#430	—	2	2	no	—
15	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#108	—	2	2	no	—
17	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#424	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2098	—	2	8	no	—
25	#1884	—	2	8	no	—
26	#1870	—	2	2	no	—
27	#1869	—	2	2	no	—
28	#1868	—	2	8	no	—
29	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
30	#1735	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
33	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	#568	—	2	8	no	—
38	#568	—	2	4	no	—
39	#568	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	4	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#532	—	2	4	no	—
53	#532	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#127	Q₈	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#124	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	C₂×#124	Q₈	1	1	yes	characteristic
58	C₂×#121	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#430	—	2	16	no	—
63	#430	—	2	4	no	—
64	#430	D₄	1	8	yes	complemented
65	C₂×#108	—	2	16	no	—
66	C₂×#108	—	2	8	no	—
67	C₂×#108	—	2	2	no	—
68	C₂×#108	—	2	4	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	#424	—	2	8	no	—
71	#424	—	2	8	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
73	#421	—	2	8	no	—
74	#421	—	2	8	no	—
75	C₂×#104	—	4	4	no	—
76	#410	—	2	4	no	—
77	#410	D₄	1	8	yes	—
78	C₂×#99	—	2	4	no	—
79	#408	—	2	4	no	—
80	#408	—	2	4	no	—
81	#408	—	2	4	no	—
82	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
86	#344	—	2	8	no	—
87	#340	—	2	4	no	—
88	#339	—	2	8	no	—
89	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
90	#336	—	2	1	no	—
91	#336	—	2	2	no	—
92	#336	—	2	1	no	—
93	C₂×#41	—	2	2	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
110	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
111	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	#131	—	2	32	no	—
117	#131	—	4	16	no	—
118	#131	—	4	16	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	16	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
153	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
154	#127	—	2	4	no	—
155	#124	—	2	4	no	—
156	#124	—	2	4	no	—
157	#121	—	4	8	no	—
158	C₄×D₄	—	4	4	no	—
159	C₄×D₄	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	4	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	4	no	—
163	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
175	#108	—	2	8	no	—
176	#108	—	2	8	no	—
177	#108	—	2	16	no	—
178	C₄⋊C₈	—	4	16	no	—
179	#104	—	4	16	no	—
180	#99	—	2	16	no	—
181	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
182	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
183	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊C₈	—	4	2	no	—
185	C₂⁴	—	2	1	no	—
186	C₂⁴	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
187	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	2	8	no	—
189	#41	—	2	8	no	—
190	#41	—	2	8	no	—
191	#41	—	2	8	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	4	no	—
194	#41	—	4	4	no	—
195	#41	—	4	4	no	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
201	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	2	2	no	—
206	C₂×D₄	—	2	2	no	—
207	C₂×D₄	—	2	2	no	—
208	C₂×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	2	no	—
211	C₂×D₄	—	4	2	no	—
212	C₂×D₄	—	4	2	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	8	2	no	—
215	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
216	C₂×D₄	#123	1	8	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	8	1	no	—
234	C₂²×C₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
236	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
245	M₁₆	—	2	16	no	—
246	M₁₆	—	2	8	no	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	8	no	—
249	M₁₆	—	4	16	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	M₁₆	—	4	4	no	—
252	M₁₆	—	4	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	16	no	—
254	C₂×C₈	—	2	1	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	1	no	—
257	C₂×C₈	—	2	2	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	—	2	8	no	—
262	C₂×C₈	—	4	16	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	—	4	1	no	—
266	C₂×C₈	—	4	1	no	—
267	C₂×C₈	—	4	1	no	—
268	C₂×C₈	—	4	1	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	4	no	—
272	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
273	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	#123	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	2	2	no	—
283	C₄²	—	2	2	no	—
284	C₄²	—	2	8	no	—
285	C₄²	—	4	1	no	—
286	C₄²	—	4	1	no	—
287	C₄²	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	2	2	no	—
289	C₂³	—	2	2	no	—
290	C₂³	—	4	1	no	—
291	C₂³	—	4	1	no	—
292	C₂³	—	4	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	—	4	1	no	—
297	C₂³	—	4	1	no	—
298	C₂³	—	4	1	no	—
299	C₂³	#399	1	4	yes	—
300	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
302	C₂³	#548	1	2	yes	—
303	C₂³	#553	1	2	yes	—
304	Q₈	—	2	8	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	D₄	—	2	16	no	—
307	D₄	—	2	8	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	4	no	—
314	C₂×C₄	—	2	4	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	1	no	—
319	C₂×C₄	—	4	1	no	—
320	C₂×C₄	—	4	1	no	—
321	C₂×C₄	—	4	1	no	—
322	C₂×C₄	—	4	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	1	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	1	no	—
331	C₂×C₄	—	8	1	no	—
332	C₂×C₄	—	8	1	no	—
333	C₂×C₄	—	8	1	no	—
334	C₂×C₄	#399	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#539	1	4	yes	—
344	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
345	C₂×C₄	#547	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	2	4	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	4	8	no	—
352	C₈	—	8	1	no	—
353	C₈	—	8	1	no	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	4	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	4	4	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	2	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	8	1	no	—
368	C₂²	—	8	1	no	—
369	C₂²	—	8	1	no	—
370	C₂²	C₂×#399	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	#2409	1	1	yes	characteristic
372	C₂²	#2443	1	4	yes	—
373	C₂²	#2487	1	1	yes	characteristic
374	C₄	—	2	4	no	—
375	C₄	—	4	2	no	—
376	C₄	—	8	1	no	—
377	C₄	—	8	8	no	—
378	C₄	—	8	1	no	—
379	C₄	#2433	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#2449	1	4	yes	—
381	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2623	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2849	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	2	1	no	—
385	C₂	—	2	4	no	—
386	C₂	—	2	1	no	—
387	C₂	—	4	4	no	—
388	C₂	—	16	1	no	—
389	C₂	#14777	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#27693	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#27694	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2487
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2916	C₂	semidirect
2. C₂×#2098	C₂	semidirect
5. C₂×#1868	C₂	semidirect
6. #11367	C₂	semidirect
7. #11329	C₂	semidirect
8. #11108	C₂	semidirect
9. #10759	C₂	semidirect
64. #430	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2916	2
C₂×#2098	2
C₂×#1884	2
#20900	2
C₂×#1868	2
#11367	2
#11329	2
#11108	2
#10759	2