Subgroups — #401600

Order 512.

1772 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 439 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60065	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20618	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11185	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#11104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#10760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10755	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#585	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
14	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#413	C₂²	1	2	yes	—
17	#2880	—	2	8	no	—
18	#2879	—	2	2	no	—
19	#2879	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#408	—	2	2	no	—
21	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
22	#2311	C₂²	1	2	yes	—
23	#2078	—	2	8	no	—
24	#1809	—	2	2	no	—
25	#1808	—	2	2	no	—
26	#1793	—	2	4	no	—
27	#1792	—	2	4	no	—
28	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	complemented
31	#1736	C₂²	1	2	yes	complemented
32	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#585	—	2	4	no	—
34	#585	—	2	4	no	—
35	#585	—	4	2	no	—
36	#585	—	4	2	no	—
37	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
38	C₂×2₋¹⁺⁴	D₄	1	2	yes	—
39	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
40	C₂×H(5,𝔽₂)	—	2	2	no	—
41	C₂×H(5,𝔽₂)	D₄	1	2	yes	—
42	C₂²×#41	—	2	4	no	—
43	C₂²×#41	—	2	2	no	—
44	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#568	—	2	4	no	—
47	#568	—	4	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂×#131	—	4	2	no	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	#427	—	4	2	no	—
62	C₂×#107	—	2	1	no	—
63	C₂×#107	—	2	1	no	—
64	C₂×#107	—	2	1	no	—
65	C₂×#107	—	2	4	no	—
66	C₂×#106	—	2	1	no	—
67	#421	—	4	4	no	—
68	#421	—	4	4	no	—
69	C₂×#104	—	2	8	no	—
70	#417	—	2	8	no	—
71	#417	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	—	2	4	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	#413	—	2	4	no	—
75	#413	—	2	4	no	—
76	C₂×#101	—	2	2	no	—
77	C₂×#100	—	2	2	no	—
78	#408	—	2	8	no	—
79	#408	—	2	8	no	—
80	#408	—	2	4	no	—
81	#408	—	2	2	no	—
82	#408	—	2	4	no	—
83	#408	—	2	2	no	—
84	#408	D₄	1	8	yes	—
85	#407	—	2	8	no	—
86	#407	—	2	4	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
89	#391	—	2	2	no	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#386	—	2	4	no	—
92	#380	—	2	4	no	—
93	#344	—	4	4	no	—
94	#343	—	2	8	no	—
95	#341	—	2	4	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	#338	—	4	2	no	—
98	2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
99	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
100	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
101	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
102	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
103	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
104	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
105	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
106	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
107	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
108	C₂×#41	—	2	4	no	—
109	C₂×#41	—	2	4	no	—
110	C₂×#41	—	2	8	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	2	no	—
116	C₂×#41	—	2	2	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	4	no	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	4	4	no	—
125	C₂×#41	—	4	4	no	—
126	C₂×#41	—	4	16	no	—
127	C₂×#41	—	4	16	no	—
128	C₂×#41	—	4	4	no	—
129	C₂×#41	—	4	4	no	—
130	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
131	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
133	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
134	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
138	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
143	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
145	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
147	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
148	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
149	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
151	#131	—	4	16	no	—
152	#131	—	4	16	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
165	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
168	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
169	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
170	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
171	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
174	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	4	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
193	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
194	#107	—	4	2	no	—
195	#107	—	4	2	no	—
196	#107	—	4	2	no	—
197	#106	—	4	2	no	—
198	#104	—	4	16	no	—
199	#103	—	4	8	no	—
200	#102	—	4	8	no	—
201	#101	—	4	4	no	—
202	#100	—	4	4	no	—
203	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
204	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
206	#95	—	4	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	2	no	—
209	C₂⁴	#121	1	2	yes	—
210	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
211	#41	—	2	8	no	—
212	#41	—	2	8	no	—
213	#41	—	2	8	no	—
214	#41	—	2	8	no	—
215	#41	—	2	8	no	—
216	#41	—	2	8	no	—
217	#41	—	2	8	no	—
218	#41	—	2	8	no	—
219	#41	—	4	8	no	—
220	#41	—	4	8	no	—
221	#41	—	4	8	no	—
222	#41	—	4	8	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	16	no	—
225	#41	—	4	16	no	—
226	#41	—	4	32	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	2	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	4	no	—
232	#41	—	4	4	no	—
233	#41	—	4	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
243	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
244	C₂×Q₈	#123	1	4	yes	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	4	no	—
248	C₂×D₄	—	2	8	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	2	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	16	no	—
259	C₂×D₄	—	4	32	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	—	4	4	no	—
262	C₂×D₄	—	4	4	no	—
263	C₂×D₄	—	4	8	no	—
264	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
265	C₂×D₄	#123	1	4	yes	—
266	C₂×D₄	#126	1	8	yes	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
284	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
295	M₁₆	—	2	8	no	—
296	M₁₆	—	4	8	no	—
297	M₁₆	—	4	8	no	—
298	M₁₆	—	4	2	no	—
299	M₁₆	—	4	2	no	—
300	M₁₆	—	4	4	no	—
301	M₁₆	—	4	4	no	—
302	M₁₆	—	4	4	no	—
303	M₁₆	—	4	4	no	—
304	M₁₆	—	4	4	no	—
305	C₂×C₈	—	2	1	no	—
306	C₂×C₈	—	2	1	no	—
307	C₂×C₈	—	2	1	no	—
308	C₂×C₈	—	2	1	no	—
309	C₂×C₈	—	2	8	no	—
310	C₂×C₈	—	2	4	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	4	8	no	—
315	C₂×C₈	—	4	8	no	—
316	C₂×C₈	—	4	4	no	—
317	C₂×C₈	—	4	4	no	—
318	C₂×C₈	—	4	4	no	—
319	C₂×C₈	—	4	4	no	—
320	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
321	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
322	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
329	C₄²	—	4	4	no	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	—	2	4	no	—
333	C₂³	—	4	1	no	—
334	C₂³	—	4	1	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	8	no	—
338	C₂³	—	4	4	no	—
339	C₂³	—	8	2	no	—
340	C₂³	—	8	2	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	#397	1	4	yes	—
344	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#525	1	2	yes	—
346	C₂³	C₂×#126	1	2	yes	—
347	C₂³	#538	1	2	yes	—
348	Q₈	—	2	8	no	—
349	Q₈	—	2	8	no	—
350	Q₈	—	4	8	no	—
351	Q₈	—	4	2	no	—
352	Q₈	—	4	2	no	—
353	D₄	—	2	16	no	—
354	D₄	—	2	8	no	—
355	D₄	—	2	8	no	—
356	D₄	—	4	8	no	—
357	D₄	—	4	16	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	4	8	no	—
361	D₄	—	4	2	no	—
362	D₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	16	no	—
371	C₂×C₄	—	4	8	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	2	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	16	4	no	—
382	C₂×C₄	#397	1	4	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
393	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
395	C₂×C₄	#551	1	4	yes	—
396	C₈	—	2	2	no	—
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	4	2	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	—	8	4	no	—
401	C₂²	—	2	1	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	1	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	2	4	no	—
406	C₂²	—	4	2	no	—
407	C₂²	—	4	2	no	—
408	C₂²	—	4	4	no	—
409	C₂²	—	4	2	no	—
410	C₂²	—	4	2	no	—
411	C₂²	—	4	4	no	—
412	C₂²	—	4	4	no	—
413	C₂²	—	4	4	no	—
414	C₂²	—	8	2	no	—
415	C₂²	—	16	4	no	—
416	C₂²	—	16	8	no	—
417	C₂²	C₂×#397	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2480	1	4	yes	—
419	C₂²	#2617	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
421	C₄	—	2	4	no	—
422	C₄	—	4	4	no	—
423	C₄	—	16	2	no	—
424	C₄	—	16	2	no	—
425	C₄	#2405	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#2412	1	4	yes	—
427	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2482	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2561	1	1	yes	characteristic
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	1	no	—
432	C₂	—	2	4	no	—
433	C₂	—	4	4	no	—
434	C₂	—	8	4	no	—
435	C₂	#14820	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#32951	1	1	yes	characteristic
437	C₂	#32952	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2847
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#585	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2078	C₂	semidirect
3. #20663	C₂	semidirect
5. #11185	C₂	semidirect
6. #11104	C₂	semidirect
7. #10760	C₂	semidirect
8. #10755	C₂	semidirect
12. C₂×#427	C₂²	semidirect
13. C₂²×#107	C₂²	semidirect
28. C₂×#344	C₂²	semidirect
29. C₂×#343	C₂²	semidirect
30. C₂×#341	C₂²	semidirect
31. #1736	C₂²	semidirect
32. C₂×#338	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60065	2
C₂×#2078	2
#20663	2
#20618	2
#11185	2
#11104	2
#10760	2
#10755	2