Subgroups — #401725

Order 512.

1081 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 427 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#23751	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20675	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11281	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#11236	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10794	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#10783	C₂	1	2	yes	maximal
11	#10773	C₂	1	2	yes	maximal
12	C₂×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2911	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#2906	—	2	4	no	—
18	#2906	—	2	4	no	—
19	#2905	—	2	2	no	—
20	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#424	—	2	2	no	—
23	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
27	#2103	—	2	2	no	—
28	#2103	—	2	2	no	—
29	#2102	—	2	4	no	—
30	#1814	—	2	4	no	—
31	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
35	#1742	C₂²	1	2	yes	—
36	#1740	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
38	#1735	C₂²	1	2	yes	—
39	#1733	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#568	—	2	4	no	—
45	#568	—	4	2	no	—
46	C₂×#131	—	2	2	no	—
47	C₂×#131	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	2	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	4	2	no	—
51	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#520	—	2	2	no	—
62	#520	—	2	2	no	—
63	#519	Q₈	1	2	yes	—
64	#518	—	2	2	no	—
65	#518	Q₈	1	2	yes	—
66	C₄×#41	—	2	2	no	—
67	C₄×#41	—	2	2	no	—
68	C₂×#117	—	2	2	no	—
69	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#430	—	2	2	no	—
74	#430	—	2	2	no	—
75	C₂×#108	—	2	2	no	—
76	#428	—	4	2	no	—
77	#427	—	2	2	no	—
78	#424	—	2	8	no	—
79	#424	—	2	8	no	—
80	#424	—	2	2	no	—
81	#424	—	2	2	no	—
82	#424	—	2	2	no	—
83	#424	—	2	2	no	—
84	#424	—	2	1	no	—
85	#424	—	2	1	no	—
86	#424	—	2	2	no	—
87	#424	—	2	2	no	—
88	#424	D₄	1	2	yes	—
89	#424	D₄	1	2	yes	—
90	#423	—	2	8	no	—
91	#423	—	2	2	no	—
92	#423	D₄	1	4	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
94	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
96	#421	—	2	4	no	—
97	#421	—	2	4	no	—
98	#421	—	2	4	no	—
99	#421	—	2	4	no	—
100	C₂×#104	—	2	4	no	—
101	C₂×#104	—	2	4	no	—
102	#344	—	2	4	no	—
103	#344	—	2	4	no	—
104	#344	—	2	4	no	—
105	#344	—	4	2	no	—
106	#343	—	4	2	no	—
107	#342	—	2	4	no	—
108	#341	—	2	2	no	—
109	#341	—	2	2	no	—
110	#340	—	4	2	no	—
111	#339	—	2	4	no	—
112	#338	—	2	2	no	—
113	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
114	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
115	C₂×#41	—	2	1	no	—
116	C₂×#41	—	2	1	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
121	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
122	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	#131	—	2	8	no	—
129	#131	—	4	4	no	—
130	#131	—	4	8	no	—
131	#131	—	4	8	no	—
132	#131	—	4	4	no	—
133	#131	—	4	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
158	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
163	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
164	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
165	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
166	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
177	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
178	C₄×D₄	—	2	8	no	—
179	C₄×D₄	—	2	8	no	—
180	C₄×D₄	—	2	4	no	—
181	C₄×D₄	—	2	4	no	—
182	#117	—	2	4	no	—
183	#117	—	2	4	no	—
184	#117	—	2	1	no	—
185	#117	—	2	1	no	—
186	#117	—	2	1	no	—
187	#117	—	2	1	no	—
188	#117	—	2	4	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	2	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	2	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	—	2	2	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
199	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
200	#117	#41	1	2	yes	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
211	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
213	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
214	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	#108	—	4	4	no	—
217	#107	—	4	2	no	—
218	#106	—	4	2	no	—
219	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
221	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
225	#104	—	4	8	no	—
226	#104	—	4	8	no	—
227	C₂⁴	—	2	1	no	—
228	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	#41	—	2	2	no	—
230	#41	—	2	2	no	—
231	#41	—	2	4	no	—
232	#41	—	2	4	no	—
233	#41	—	2	4	no	—
234	#41	—	2	4	no	—
235	#41	—	2	4	no	—
236	#41	#123	1	4	yes	—
237	#41	#124	1	4	yes	—
238	#41	#126	1	8	yes	—
239	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
242	C₂×Q₈	#125	1	4	yes	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	1	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₂×D₄	#125	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	2	2	no	—
274	M₁₆	—	2	2	no	—
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	4	8	no	—
277	M₁₆	—	4	8	no	—
278	M₁₆	—	4	1	no	—
279	M₁₆	—	4	1	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	4	2	no	—
282	M₁₆	—	4	2	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	1	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	8	no	—
298	C₂×C₈	—	4	8	no	—
299	C₂×C₈	—	4	1	no	—
300	C₂×C₈	—	4	1	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	—	4	2	no	—
307	C₂×C₈	—	4	2	no	—
308	C₂×C₈	—	4	2	no	—
309	C₂×C₈	—	4	2	no	—
310	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
329	C₄²	—	2	8	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	4	2	no	—
334	C₄²	—	4	2	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	4	2	no	—
337	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	2	4	no	—
340	C₂³	—	8	1	no	—
341	C₂³	—	8	2	no	—
342	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
343	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#552	1	2	yes	—
346	C₂³	#553	1	2	yes	—
347	Q₈	—	2	2	no	—
348	Q₈	—	2	4	no	—
349	Q₈	#400	1	4	yes	—
350	D₄	—	2	4	no	—
351	D₄	—	2	8	no	—
352	D₄	—	2	4	no	—
353	D₄	—	2	2	no	—
354	D₄	—	2	4	no	—
355	D₄	#400	1	4	yes	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	8	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	8	2	no	—
365	C₂×C₄	—	8	8	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	16	2	no	—
369	C₂×C₄	—	16	2	no	—
370	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#125	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	C₂×#126	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#539	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
388	C₈	—	2	4	no	—
389	C₈	—	4	1	no	—
390	C₈	—	4	1	no	—
391	C₈	—	4	2	no	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	8	2	no	—
394	C₈	—	8	2	no	—
395	C₂²	—	2	4	no	—
396	C₂²	—	4	1	no	—
397	C₂²	—	4	1	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	4	no	—
402	C₂²	—	8	4	no	—
403	C₂²	#2442	1	2	yes	—
404	C₂²	#2481	1	2	yes	—
405	C₂²	#2484	1	1	yes	characteristic
406	C₂²	#2591	1	1	yes	characteristic
407	C₂²	#2848	1	1	yes	characteristic
408	C₄	—	2	4	no	—
409	C₄	—	4	4	no	—
410	C₄	—	4	4	no	—
411	C₄	—	16	2	no	—
412	C₄	—	16	2	no	—
413	C₄	C₂×#400	1	1	yes	characteristic
414	C₄	#2405	1	1	yes	characteristic
415	C₄	#2436	1	1	yes	characteristic
416	C₄	#2442	1	2	yes	—
417	C₄	#2481	1	2	yes	—
418	C₄	#2627	1	1	yes	characteristic
419	C₂	—	2	1	no	—
420	C₂	—	2	1	no	—
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	—	2	2	no	—
423	C₂	—	2	1	no	—
424	C₂	—	4	4	no	—
425	C₂	#14822	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2436
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#14822
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2103	C₂	semidirect
3. #23751	C₂	semidirect
5. #11281	C₂	semidirect
6. #11280	C₂	semidirect
7. #11245	C₂	semidirect
8. #11236	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60100	2
C₂×#2103	2
#23751	2
#20675	2
#11281	2
#11280	2
#11245	2
#11236	2
#10794	2
#10783	2
#10773	2