Subgroups — #403007

Order 512.

1232 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 435 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2031	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#21318	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#11259	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#11081	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11026	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#10773	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10759	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#443	—	2	8	no	—
14	C₂×#443	—	2	2	no	—
15	C₂×#443	—	2	2	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#410	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2031	—	2	8	no	—
25	#1991	—	2	2	no	—
26	#1990	—	2	2	no	—
27	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#1735	C₂²	1	2	yes	—
32	#1735	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
38	C₂×#135	—	2	4	no	—
39	C₂×#135	—	2	4	no	—
40	C₂×#135	—	2	2	no	—
41	C₂×#135	—	2	2	no	—
42	C₂²×Q₁₆	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
43	C₂²×SD₁₆	Q₈	1	2	yes	complemented
44	C₂²×D₈	Q₈	1	1	yes	characteristic, complemented
45	C₂×#131	—	2	4	no	—
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂×#131	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	—	4	2	no	—
50	C₂×#131	—	4	2	no	—
51	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#533	—	2	4	no	—
58	#533	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
60	C₂×#125	—	2	1	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	4	1	no	—
63	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#443	—	2	16	no	—
68	#443	—	2	16	no	—
69	C₂×#108	—	2	4	no	—
70	C₂×#108	—	2	2	no	—
71	#421	—	2	4	no	—
72	#421	—	2	4	no	—
73	#421	—	2	4	no	—
74	#421	—	4	2	no	—
75	C₂×#104	—	2	2	no	—
76	C₂×#104	—	2	2	no	—
77	C₂×#104	—	2	4	no	—
78	C₂×#104	—	4	2	no	—
79	C₂×#104	—	4	2	no	—
80	C₂×#104	D₄	1	8	yes	—
81	#410	—	2	4	no	—
82	#410	—	2	4	no	—
83	#410	—	2	4	no	—
84	#410	—	4	2	no	—
85	C₂×#99	—	4	2	no	—
86	C₂×#99	—	4	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
90	#384	—	2	1	no	—
91	#382	—	2	1	no	—
92	#380	—	4	1	no	—
93	C₄×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
94	#344	—	2	4	no	—
95	#344	—	4	2	no	—
96	#341	—	2	1	no	—
97	#341	—	2	1	no	—
98	#340	—	2	4	no	—
99	#340	—	2	4	no	—
100	#340	—	2	2	no	—
101	#339	—	2	4	no	—
102	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
103	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
118	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
124	#135	—	2	8	no	—
125	#135	—	2	16	no	—
126	#135	—	2	8	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×D₈	—	2	4	no	—
133	C₂×D₈	—	2	2	no	—
134	#131	—	2	16	no	—
135	#131	—	4	8	no	—
136	#131	—	4	8	no	—
137	#131	—	4	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
151	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₈	#41	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
172	#125	—	2	4	no	—
173	#125	—	4	2	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
175	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	#41	1	4	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
198	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
205	#108	—	2	8	no	—
206	#104	—	2	8	no	—
207	#104	—	2	8	no	—
208	#104	—	4	8	no	—
209	#104	—	4	8	no	—
210	#99	—	4	8	no	—
211	#99	—	4	8	no	—
212	C₄×C₈	—	2	4	no	—
213	C₄×C₈	—	2	4	no	—
214	#95	—	4	2	no	—
215	C₂⁴	—	2	2	no	—
216	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	2	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
240	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	4	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	—	4	2	no	—
252	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
272	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
274	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
277	Q₁₆	—	2	8	no	—
278	SD₁₆	—	2	16	no	—
279	D₈	—	2	8	no	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	2	4	no	—
282	M₁₆	—	4	16	no	—
283	M₁₆	—	4	2	no	—
284	M₁₆	—	4	2	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	4	2	no	—
287	M₁₆	—	4	2	no	—
288	M₁₆	—	4	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	2	2	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	2	4	no	—
299	C₂×C₈	—	2	4	no	—
300	C₂×C₈	—	4	16	no	—
301	C₂×C₈	—	4	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	2	no	—
305	C₂×C₈	—	4	2	no	—
306	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
312	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
313	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
325	C₄²	—	2	1	no	—
326	C₄²	—	2	1	no	—
327	C₄²	—	2	4	no	—
328	C₄²	—	2	4	no	—
329	C₄²	—	4	2	no	—
330	C₄²	—	4	2	no	—
331	C₄²	—	4	2	no	—
332	C₄²	—	4	2	no	—
333	C₄²	—	4	2	no	—
334	C₄²	#120	1	2	yes	—
335	C₄²	#120	1	2	yes	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#538	1	2	yes	—
343	C₂³	#546	1	2	yes	—
344	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
345	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
346	Q₈	—	2	4	no	—
347	Q₈	—	2	4	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	4	2	no	—
350	Q₈	—	8	8	no	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	2	4	no	—
353	D₄	—	4	4	no	—
354	D₄	—	4	4	no	—
355	D₄	—	4	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	2	no	—
358	D₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	8	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	8	4	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
380	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
395	C₈	—	2	2	no	—
396	C₈	—	2	2	no	—
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	2	2	no	—
399	C₈	—	4	4	no	—
400	C₈	—	8	2	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	2	no	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	4	2	no	—
405	C₂²	—	4	2	no	—
406	C₂²	—	4	4	no	—
407	C₂²	—	8	4	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	#2404	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2450	1	2	yes	—
412	C₂²	#2459	1	2	yes	—
413	C₂²	#2563	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2631	1	1	yes	characteristic
415	C₄	—	2	4	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	4	no	—
418	C₄	—	8	4	no	—
419	C₄	—	16	2	no	—
420	C₄	—	16	2	no	—
421	C₄	#2398	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#2435	1	1	yes	characteristic
423	C₄	#2450	1	2	yes	—
424	C₄	#2459	1	2	yes	—
425	C₄	#2580	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#2848	1	1	yes	characteristic
427	C₂	—	2	1	no	—
428	C₂	—	2	1	no	—
429	C₂	—	2	2	no	—
430	C₂	—	2	2	no	—
431	C₂	—	8	4	no	—
432	C₂	#14865	1	1	yes	characteristic
433	C₂	#29154	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#555
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2563
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2031	C₂	semidirect
3. #21318	C₂	semidirect
4. #11259	C₂	semidirect
5. #11081	C₂	semidirect
7. #10818	C₂	semidirect
8. #10773	C₂	semidirect
9. #10759	C₂	semidirect
42. C₂²×Q₁₆	Q₈	semidirect
43. C₂²×SD₁₆	Q₈	semidirect
44. C₂²×D₈	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
C₂×#2031	2
#21318	2
#11259	2
#11081	2
#11026	2
#10818	2
#10773	2
#10759	2