Subgroups — #404528

Order 512.

975 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 417 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60126	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23751	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#2098	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#21184	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11118	C₂	1	2	yes	maximal
8	#11112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10914	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#10811	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#10783	C₂	1	2	yes	maximal
12	#3428	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#2925	—	2	4	no	—
14	#2924	—	2	4	no	—
15	#2923	—	2	2	no	—
16	#2922	—	2	2	no	—
17	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#430	C₂²	1	2	yes	—
20	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#421	C₂²	1	2	yes	—
25	#2879	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2873	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#2102	—	2	4	no	—
30	#2098	—	2	2	no	—
31	#2098	—	2	2	no	—
32	#1953	—	2	4	no	—
33	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
35	#1742	C₂²	1	2	yes	—
36	#1740	C₂²	1	2	yes	—
37	#1733	C₂²	1	2	yes	—
38	#1733	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1729	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#520	—	2	2	no	—
51	#520	—	2	2	no	—
52	#519	Q₈	1	2	yes	—
53	#518	—	2	2	no	—
54	#518	Q₈	1	2	yes	—
55	C₄×#41	—	2	2	no	—
56	C₄×#41	—	2	2	no	—
57	C₂×#117	—	2	2	no	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
62	#433	—	2	8	no	—
63	#433	—	2	8	no	—
64	#432	—	2	8	no	—
65	#431	—	2	8	no	—
66	#430	—	2	4	no	—
67	#430	—	2	2	no	—
68	#430	—	2	2	no	—
69	#430	—	2	4	no	—
70	#430	—	4	2	no	—
71	C₂×#108	—	2	2	no	—
72	C₂×#108	—	2	2	no	—
73	C₂×#108	—	4	2	no	—
74	#424	—	2	2	no	—
75	#424	—	2	2	no	—
76	#424	—	2	1	no	—
77	#424	—	2	1	no	—
78	#424	—	2	2	no	—
79	#424	—	2	2	no	—
80	#424	—	2	2	no	—
81	#424	—	4	2	no	—
82	#423	D₄	1	4	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
85	#421	—	2	4	no	—
86	#421	—	2	4	no	—
87	#421	—	2	4	no	—
88	#421	—	4	2	no	—
89	C₂×#104	—	2	4	no	—
90	C₂×#104	—	4	2	no	—
91	#408	—	2	2	no	—
92	#408	—	2	2	no	—
93	#408	—	2	2	no	—
94	#408	D₄	1	2	yes	—
95	#408	D₄	1	2	yes	—
96	#407	—	2	2	no	—
97	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
98	#405	—	2	2	no	—
99	#405	—	2	2	no	—
100	#405	—	2	2	no	—
101	#405	D₄	1	4	yes	—
102	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×#97	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
105	#344	—	2	4	no	—
106	#344	—	2	4	no	—
107	#343	—	2	4	no	—
108	#342	—	2	4	no	—
109	#339	—	2	4	no	—
110	#339	—	2	4	no	—
111	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
112	H(3,ℤ/4)	—	2	2	no	—
113	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
114	#336	—	4	2	no	—
115	C₂×#41	—	2	1	no	—
116	C₂×#41	—	2	1	no	—
117	C₂×#41	—	2	2	no	—
118	C₂×#41	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	2	no	—
120	C₂×#41	—	2	2	no	—
121	C₂×#41	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×#41	#41	1	2	yes	—
123	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
125	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
126	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
156	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
165	C₄×D₄	—	2	8	no	—
166	C₄×D₄	—	2	8	no	—
167	C₄×D₄	—	2	4	no	—
168	C₄×D₄	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	—	2	4	no	—
171	#117	—	2	1	no	—
172	#117	—	2	1	no	—
173	#117	—	2	1	no	—
174	#117	—	2	1	no	—
175	#117	—	2	4	no	—
176	#117	—	2	2	no	—
177	#117	—	2	2	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
186	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
187	#117	#41	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
203	#108	—	2	8	no	—
204	#108	—	4	8	no	—
205	#108	—	4	4	no	—
206	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
207	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
209	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
210	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
211	#104	—	4	8	no	—
212	#104	—	4	8	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
214	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
216	#97	—	2	4	no	—
217	#97	—	2	4	no	—
218	C₄×C₈	—	2	4	no	—
219	C₄×C₈	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	2	1	no	—
221	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	2	4	no	—
225	#41	—	2	4	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	1	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂×D₄	—	2	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
250	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	2	no	—
268	M₁₆	—	2	2	no	—
269	M₁₆	—	2	4	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	4	2	no	—
272	M₁₆	—	4	1	no	—
273	M₁₆	—	4	1	no	—
274	M₁₆	—	4	2	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	1	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	1	no	—
286	C₂×C₈	—	2	2	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	4	1	no	—
290	C₂×C₈	—	4	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	1	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	—	4	2	no	—
296	C₂×C₈	—	4	2	no	—
297	C₂×C₈	—	4	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
300	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
318	C₄²	—	2	8	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	4	no	—
323	C₄²	—	2	4	no	—
324	C₄²	—	4	2	no	—
325	C₄²	—	4	2	no	—
326	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
327	C₂³	—	2	2	no	—
328	C₂³	—	4	1	no	—
329	C₂³	—	4	1	no	—
330	C₂³	—	8	1	no	—
331	C₂³	—	8	2	no	—
332	C₂³	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	#529	1	2	yes	—
336	C₂³	#542	1	2	yes	—
337	Q₈	—	2	4	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	4	4	no	—
341	D₄	—	4	4	no	—
342	D₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	1	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	2	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	8	no	—
356	C₂×C₄	—	8	4	no	—
357	C₂×C₄	—	8	4	no	—
358	C₂×C₄	—	8	2	no	—
359	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
372	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
377	C₈	—	2	4	no	—
378	C₈	—	4	4	no	—
379	C₈	—	4	2	no	—
380	C₈	—	4	1	no	—
381	C₈	—	4	1	no	—
382	C₈	—	4	2	no	—
383	C₈	—	8	2	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	—	4	1	no	—
386	C₂²	—	4	2	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	4	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	16	1	no	—
392	C₂²	—	16	1	no	—
393	C₂²	#2396	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2470	1	2	yes	—
395	C₂²	#2479	1	2	yes	—
396	C₂²	#2628	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#2848	1	1	yes	characteristic
398	C₄	—	4	4	no	—
399	C₄	—	4	4	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	16	2	no	—
403	C₄	#2406	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2431	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#2438	1	2	yes	—
406	C₄	#2441	1	2	yes	—
407	C₄	#2598	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2611	1	1	yes	characteristic
409	C₂	—	2	1	no	—
410	C₂	—	2	2	no	—
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	2	1	no	—
413	C₂	—	2	1	no	—
414	C₂	—	8	2	no	—
415	C₂	#14893	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#2431
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂	#14893
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #23751	C₂	semidirect
4. #21184	C₂	semidirect
5. #11336	C₂	semidirect
6. #11246	C₂	semidirect
9. #10914	C₂	semidirect
10. #10811	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60126	2
#23751	2
C₂×#2098	2
#21184	2
#11336	2
#11246	2
#11118	2
#11112	2
#10914	2
#10811	2
#10783	2