Subgroups — #405452

Order 512.

1604 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 474 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60444	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20989	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1896	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1728	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#11294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11151	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#11039	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂²⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#575	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂³×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#525	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#3056	—	2	4	no	—
15	#3055	—	2	4	no	—
16	#3054	—	2	2	no	—
17	#3050	—	2	2	no	—
18	#2911	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
20	#2896	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#407	C₂²	1	2	yes	—
23	#1901	—	2	4	no	—
24	#1900	—	2	4	no	—
25	#1896	—	2	4	no	—
26	#1896	—	2	4	no	—
27	#1742	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
31	#1728	—	2	2	no	—
32	#1728	C₂²	1	2	yes	—
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#336	—	2	2	no	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	—	2	1	no	—
37	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	#575	—	2	4	no	—
39	#575	—	4	2	no	—
40	C₂×#137	—	2	2	no	—
41	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	2	no	—
42	C₂×#135	—	2	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
48	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
49	C₂²×M₁₆	—	4	2	no	—
50	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
56	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
57	#525	—	2	2	no	—
58	#525	—	2	2	no	—
59	#525	—	2	2	no	—
60	#525	—	2	2	no	—
61	#525	—	2	4	no	—
62	#525	—	2	4	no	—
63	C₂×#123	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊Q₈	D₄	1	4	yes	—
65	C₂×#121	D₄	1	4	yes	—
66	C₂×#120	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
68	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
70	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
71	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
72	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
73	C₂²×C₄²	—	4	2	no	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	#470	—	2	4	no	—
78	#469	—	2	4	no	—
79	#468	—	2	8	no	—
80	#467	—	2	4	no	—
81	#466	—	2	4	no	—
82	#465	—	2	8	no	—
83	#428	—	2	4	no	—
84	#427	—	2	2	no	—
85	C₂×#104	—	2	8	no	—
86	C₂×#104	—	4	4	no	—
87	C₂×#104	—	4	4	no	—
88	#419	—	2	2	no	—
89	#418	—	2	2	no	—
90	#417	—	2	4	no	—
91	#416	—	2	4	no	—
92	#413	—	2	8	no	—
93	#413	—	4	4	no	—
94	C₂×#101	—	2	4	no	—
95	C₂×#100	—	2	4	no	—
96	#407	—	2	2	no	—
97	#407	—	2	2	no	—
98	#407	—	2	4	no	—
99	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
100	#343	—	2	8	no	—
101	#339	—	2	8	no	—
102	#338	—	2	4	no	—
103	#338	—	4	2	no	—
104	#336	—	2	4	no	—
105	#336	—	2	4	no	—
106	C₂⁵	#41	1	1	yes	characteristic
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	4	no	—
112	C₂×#41	—	2	4	no	—
113	C₂×#41	—	2	4	no	—
114	C₂×#41	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
118	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	#41	1	4	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	#137	—	4	8	no	—
138	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
139	#135	—	4	4	no	—
140	#135	—	4	4	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×D₈	—	2	2	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
149	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
150	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
151	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
162	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
163	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
164	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
165	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
166	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
167	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
168	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
173	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
174	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
175	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	#123	—	4	2	no	—
179	#123	—	4	2	no	—
180	#123	—	4	4	no	—
181	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
182	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
183	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	#121	—	2	4	no	—
186	#121	—	2	4	no	—
187	#121	—	2	4	no	—
188	#121	—	2	4	no	—
189	#120	—	4	2	no	—
190	#120	—	4	2	no	—
191	#120	—	4	4	no	—
192	C₄×D₄	—	4	4	no	—
193	C₄×D₄	—	4	4	no	—
194	C₄×D₄	—	4	4	no	—
195	C₄×D₄	—	4	4	no	—
196	#117	—	2	2	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	2	no	—
199	#117	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
207	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
212	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
213	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
214	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
215	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
219	#107	—	2	4	no	—
220	#106	—	2	4	no	—
221	#104	—	4	16	no	—
222	#103	—	2	8	no	—
223	#102	—	2	8	no	—
224	#101	—	4	8	no	—
225	#100	—	4	8	no	—
226	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
227	C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
228	C₂⁴	—	2	2	no	—
229	C₂⁴	—	2	2	no	—
230	C₂⁴	—	2	2	no	—
231	C₂⁴	—	4	4	no	—
232	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
233	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
234	C₂⁴	#123	1	4	yes	—
235	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	#41	—	4	2	no	—
237	#41	—	4	2	no	—
238	#41	—	4	4	no	—
239	#41	—	4	4	no	—
240	#41	—	4	2	no	—
241	#41	—	4	2	no	—
242	#41	—	4	4	no	—
243	#41	—	4	4	no	—
244	#41	—	4	4	no	—
245	#41	—	4	4	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	2	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	4	no	—
258	C₂×D₄	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	4	4	no	—
260	C₂×D₄	—	8	8	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
296	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
297	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
298	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
301	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
309	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
310	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
311	Q₁₆	—	4	4	no	—
312	SD₁₆	—	4	8	no	—
313	D₈	—	4	4	no	—
314	M₁₆	—	2	8	no	—
315	M₁₆	—	2	8	no	—
316	M₁₆	—	4	8	no	—
317	M₁₆	—	4	8	no	—
318	M₁₆	—	4	4	no	—
319	M₁₆	—	4	4	no	—
320	M₁₆	—	4	4	no	—
321	M₁₆	—	4	4	no	—
322	M₁₆	—	4	4	no	—
323	M₁₆	—	4	4	no	—
324	C₂×C₈	—	2	2	no	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	2	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	—	2	4	no	—
329	C₂×C₈	—	2	2	no	—
330	C₂×C₈	—	4	8	no	—
331	C₂×C₈	—	4	8	no	—
332	C₂×C₈	—	4	2	no	—
333	C₂×C₈	—	4	2	no	—
334	C₂×C₈	—	4	4	no	—
335	C₂×C₈	—	4	4	no	—
336	C₂×C₈	—	4	4	no	—
337	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
338	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
339	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
340	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
341	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
347	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
348	C₄²	—	2	8	no	—
349	C₄²	—	4	4	no	—
350	C₄²	—	4	4	no	—
351	C₄²	—	4	2	no	—
352	C₄²	—	4	2	no	—
353	C₄²	—	4	2	no	—
354	C₄²	—	4	2	no	—
355	C₂³	—	2	4	no	—
356	C₂³	—	2	1	no	—
357	C₂³	—	2	1	no	—
358	C₂³	—	2	8	no	—
359	C₂³	—	2	1	no	—
360	C₂³	—	2	1	no	—
361	C₂³	—	2	8	no	—
362	C₂³	—	4	2	no	—
363	C₂³	—	4	2	no	—
364	C₂³	—	4	4	no	—
365	C₂³	—	4	8	no	—
366	C₂³	—	4	8	no	—
367	C₂³	—	4	2	no	—
368	C₂³	—	4	4	no	—
369	C₂³	—	8	4	no	—
370	C₂³	#394	1	2	yes	—
371	C₂³	#394	1	2	yes	—
372	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
373	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
374	C₂³	#529	1	2	yes	—
375	C₂³	#538	1	2	yes	—
376	Q₈	—	4	2	no	—
377	Q₈	—	4	2	no	—
378	Q₈	—	4	4	no	—
379	D₄	—	4	2	no	—
380	D₄	—	4	2	no	—
381	D₄	—	4	4	no	—
382	D₄	—	8	8	no	—
383	D₄	—	8	8	no	—
384	D₄	—	8	2	no	—
385	D₄	—	8	2	no	—
386	D₄	—	8	4	no	—
387	C₂×C₄	—	2	1	no	—
388	C₂×C₄	—	2	1	no	—
389	C₂×C₄	—	2	1	no	—
390	C₂×C₄	—	2	1	no	—
391	C₂×C₄	—	2	8	no	—
392	C₂×C₄	—	2	2	no	—
393	C₂×C₄	—	2	2	no	—
394	C₂×C₄	—	2	2	no	—
395	C₂×C₄	—	2	2	no	—
396	C₂×C₄	—	2	2	no	—
397	C₂×C₄	—	2	2	no	—
398	C₂×C₄	—	2	2	no	—
399	C₂×C₄	—	2	2	no	—
400	C₂×C₄	—	2	8	no	—
401	C₂×C₄	—	2	8	no	—
402	C₂×C₄	—	2	8	no	—
403	C₂×C₄	—	4	16	no	—
404	C₂×C₄	—	4	4	no	—
405	C₂×C₄	—	4	16	no	—
406	C₂×C₄	—	4	16	no	—
407	C₂×C₄	—	4	4	no	—
408	C₂×C₄	—	4	4	no	—
409	C₂×C₄	—	4	2	no	—
410	C₂×C₄	—	4	4	no	—
411	C₂×C₄	—	8	2	no	—
412	C₂×C₄	—	8	2	no	—
413	C₂×C₄	—	8	4	no	—
414	C₂×C₄	—	8	4	no	—
415	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
418	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
419	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
420	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
421	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
422	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
423	C₂×C₄	#534	1	1	yes	characteristic
424	C₂×C₄	#534	1	2	yes	—
425	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
426	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
427	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
428	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
429	C₂×C₄	#553	1	4	yes	—
430	C₈	—	2	4	no	—
431	C₈	—	4	4	no	—
432	C₈	—	4	2	no	—
433	C₈	—	8	4	no	—
434	C₂²	—	2	4	no	—
435	C₂²	—	2	4	no	—
436	C₂²	—	2	2	no	—
437	C₂²	—	2	2	no	—
438	C₂²	—	2	4	no	—
439	C₂²	—	2	2	no	—
440	C₂²	—	2	2	no	—
441	C₂²	—	2	4	no	—
442	C₂²	—	4	2	no	—
443	C₂²	—	4	2	no	—
444	C₂²	—	4	16	no	—
445	C₂²	—	4	2	no	—
446	C₂²	—	4	2	no	—
447	C₂²	—	8	2	no	—
448	C₂²	—	8	4	no	—
449	C₂²	—	16	4	no	—
450	C₂²	#2050	1	4	yes	—
451	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
452	C₂²	#2444	1	4	yes	—
453	C₂²	#2617	1	1	yes	characteristic
454	C₂²	#2854	1	1	yes	characteristic
455	C₄	—	2	2	no	—
456	C₄	—	2	2	no	—
457	C₄	—	4	8	no	—
458	C₄	—	8	2	no	—
459	C₄	—	8	4	no	—
460	C₄	#2404	1	1	yes	characteristic
461	C₄	#2405	1	1	yes	characteristic
462	C₄	#2504	1	1	yes	characteristic
463	C₄	#2543	1	4	yes	—
464	C₄	#2591	1	1	yes	characteristic
465	C₂	—	2	1	no	—
466	C₂	—	2	4	no	—
467	C₂	—	2	1	no	—
468	C₂	—	2	4	no	—
469	C₂	—	4	2	no	—
470	C₂	—	16	2	no	—
471	C₂	#14913	1	1	yes	characteristic
472	C₂	C₂×#2050	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#124
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#394
prime radical	#60444	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂⁴×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20989	C₂	semidirect
3. C₂×#1896	C₂	semidirect
4. C₂×#1728	C₂	semidirect
5. #11294	C₂	semidirect
6. #11151	C₂	semidirect
7. #11039	C₂	semidirect
8. C₂²⋊#338	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60444	2
#20989	2
C₂×#1896	2
C₂×#1728	2
#11294	2
#11151	2
#11039	2
C₂²⋊#338	2