Subgroups — #409207

Order 512.

870 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23556	C₂	1	2	yes	maximal
2	#21326	C₂	1	2	yes	maximal
3	#11392	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11271	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11217	C₂	1	2	yes	maximal
6	#10896	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#10818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10706	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#544	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#2317	C₂²	1	2	yes	—
16	#2059	—	2	2	no	—
17	#2059	—	2	2	no	—
18	#2058	—	2	2	no	—
19	#2058	—	2	2	no	—
20	#1993	—	2	2	no	—
21	#1992	—	2	2	no	—
22	#1991	—	2	2	no	—
23	#1990	—	2	2	no	—
24	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#1736	C₂²	1	2	yes	—
29	#1736	C₂²	1	2	yes	—
30	#1736	C₂²	1	2	yes	—
31	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
36	#1729	C₂²	1	2	yes	—
37	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₄⋊#95	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	#544	—	2	4	no	—
44	#544	—	2	4	no	—
45	#544	—	2	4	no	—
46	#544	—	4	2	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
49	C₂×#125	—	2	2	no	—
50	C₂×#125	—	2	2	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#428	—	2	4	no	—
58	#428	—	2	4	no	—
59	C₂×#107	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	2	2	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	2	no	—
63	C₂×#106	—	2	4	no	—
64	C₂×#106	—	4	2	no	—
65	#405	—	2	4	no	—
66	#405	—	4	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	—	4	2	no	—
70	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
71	#389	—	2	2	no	—
72	#389	—	2	2	no	—
73	#385	—	4	2	no	—
74	#384	—	2	2	no	—
75	#382	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	4	1	no	—
77	C₂×#95	—	4	1	no	—
78	#343	—	2	4	no	—
79	#343	—	4	2	no	—
80	#341	Q₈	1	4	yes	complemented
81	#341	Q₈	1	4	yes	complemented
82	#340	—	2	2	no	—
83	#340	—	2	2	no	—
84	#340	—	2	2	no	—
85	#340	—	2	2	no	—
86	#340	—	2	2	no	—
87	#340	—	2	2	no	—
88	#340	—	2	2	no	—
89	#340	—	2	2	no	—
90	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
91	#340	D₄	1	2	yes	—
92	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
93	#340	D₄	1	2	yes	—
94	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
95	#340	D₄	1	1	yes	characteristic
96	#339	—	2	4	no	—
97	#339	—	4	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	2	no	—
100	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
101	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
107	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
108	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
110	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
111	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
112	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
115	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
118	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
121	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
123	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
128	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
135	#125	—	2	8	no	—
136	#125	—	4	4	no	—
137	#125	—	4	4	no	—
138	#125	—	4	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
141	#117	—	2	2	no	—
142	#117	—	2	2	no	—
143	#117	—	2	2	no	—
144	#117	—	2	2	no	—
145	#117	—	2	2	no	—
146	#117	—	2	2	no	—
147	#117	#41	1	4	yes	—
148	#117	#41	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
178	#107	—	4	4	no	—
179	#106	—	4	4	no	—
180	#106	—	4	4	no	—
181	#106	—	4	4	no	—
182	#97	—	4	4	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	C₄×C₈	—	4	4	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	#95	—	4	2	no	—
187	#95	—	8	2	no	—
188	#95	—	8	2	no	—
189	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	16	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
212	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
222	M₁₆	—	2	4	no	—
223	M₁₆	—	2	4	no	—
224	M₁₆	—	2	4	no	—
225	M₁₆	—	2	4	no	—
226	M₁₆	—	4	2	no	—
227	M₁₆	—	4	2	no	—
228	M₁₆	—	4	2	no	—
229	M₁₆	—	4	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	2	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	2	no	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
250	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
268	C₄⋊C₄	—	16	2	no	—
269	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
270	C₄⋊C₄	#124	1	4	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	4	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	4	2	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	1	no	—
284	C₂³	—	2	1	no	—
285	C₂³	#538	1	2	yes	—
286	C₂³	#544	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
288	C₂³	#551	1	2	yes	—
289	C₂³	Q₈²	1	1	yes	characteristic
290	Q₈	—	16	8	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂×C₄	—	4	4	no	—
297	C₂×C₄	—	4	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	2	no	—
299	C₂×C₄	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	4	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	8	2	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	8	2	no	—
314	C₂×C₄	—	8	2	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	—	16	2	no	—
317	C₂×C₄	—	16	2	no	—
318	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
320	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	#543	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
336	C₈	—	2	2	no	—
337	C₈	—	2	2	no	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	4	4	no	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	2	1	no	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	#2472	1	2	yes	—
351	C₂²	#2551	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#2586	1	2	yes	—
353	C₂²	#2605	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#2665	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#3290	1	2	yes	—
356	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#3291	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	4	4	no	—
359	C₄	—	4	4	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	8	4	no	—
363	C₄	—	8	2	no	—
364	C₄	—	16	2	no	—
365	C₄	#2399	1	1	yes	characteristic
366	C₄	#2465	1	2	yes	—
367	C₄	#2492	1	2	yes	—
368	C₄	#2549	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2549	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2862	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	2	1	no	—
372	C₂	—	2	2	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	#15011	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#27288	1	2	yes	—
376	C₂	#27289	1	2	yes	—
377	C₂	#28823	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#28824	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
70. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
80. #341	Q₈	semidirect
81. #341	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23556	2
#21326	2
#11392	2
#11271	2
#11217	2
#10896	2
#10861	2
#10818	2
#10706	2