Subgroups — #410682

Order 512.

1254 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#23735	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#1957	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#21091	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1931	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11340	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11127	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10975	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10818	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#418	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#102	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#100	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#405	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2317	C₂²	1	2	yes	—
22	#2309	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2094	—	2	2	no	—
25	#2093	—	2	2	no	—
26	#2092	—	2	2	no	—
27	#2092	—	2	2	no	—
28	#1957	—	2	4	no	—
29	#1936	—	2	4	no	—
30	#1934	—	2	4	no	—
31	#1931	—	2	8	no	—
32	#1772	—	2	4	no	—
33	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1736	C₂²	1	2	yes	—
36	#1735	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂³×D₄	—	4	1	no	—
41	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#127	—	2	4	no	—
47	C₂×#127	—	2	2	no	—
48	C₂×#127	—	2	4	no	—
49	C₂×#127	—	4	1	no	—
50	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#108	—	2	4	no	—
56	C₂×#108	—	2	2	no	—
57	#428	—	2	4	no	—
58	#428	—	4	2	no	—
59	#427	—	2	2	no	—
60	#427	—	2	2	no	—
61	C₂×#107	—	2	2	no	—
62	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
63	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
64	C₂×#106	—	2	2	no	—
65	C₂×#106	D₄	1	2	yes	complemented
66	#418	—	2	4	no	—
67	#418	—	2	4	no	—
68	#418	—	2	4	no	—
69	#418	—	4	2	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	C₂×#102	—	2	2	no	—
72	C₂×#102	—	2	2	no	—
73	C₂×#102	—	2	4	no	—
74	C₂×#102	—	2	2	no	—
75	C₂×#102	—	2	2	no	—
76	C₂×#102	—	2	4	no	—
77	C₂×#102	—	2	4	no	—
78	C₂×#102	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	2	no	—
80	C₂×#102	—	2	2	no	—
81	C₂×#100	—	2	4	no	—
82	C₂×#100	—	2	4	no	—
83	C₂×#100	—	2	4	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	—	2	4	no	—
86	C₂×#97	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
89	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
90	#390	—	2	2	no	—
91	#390	—	2	2	no	—
92	#390	—	2	4	no	—
93	#389	—	2	4	no	—
94	#385	—	4	2	no	—
95	#384	—	2	2	no	—
96	#384	—	2	2	no	—
97	#384	—	4	1	no	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	#379	—	4	2	no	—
100	#343	—	2	4	no	—
101	#341	D₄	1	4	yes	complemented
102	#340	—	2	4	no	—
103	#340	D₄	1	2	yes	complemented
104	#340	D₄	1	2	yes	complemented
105	#339	—	2	4	no	—
106	#339	—	2	4	no	—
107	#336	—	2	2	no	—
108	#336	—	2	2	no	—
109	C₂⁵	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
124	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
127	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
157	#127	—	2	8	no	—
158	#127	—	4	8	no	—
159	#127	—	4	4	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
186	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
190	#108	—	2	8	no	—
191	#107	—	2	2	no	—
192	#107	—	2	2	no	—
193	#107	—	4	4	no	—
194	#106	—	2	4	no	—
195	#106	—	4	4	no	—
196	#102	—	2	16	no	—
197	#102	—	4	4	no	—
198	#102	—	4	4	no	—
199	#102	—	4	4	no	—
200	#102	—	4	4	no	—
201	#102	—	4	4	no	—
202	#102	—	4	4	no	—
203	#100	—	2	16	no	—
204	#97	—	4	4	no	—
205	C₄×C₈	—	2	8	no	—
206	C₄×C₈	—	4	4	no	—
207	#95	—	4	4	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	4	2	no	—
210	C₂⁴	—	4	2	no	—
211	C₂⁴	—	4	2	no	—
212	C₂⁴	—	4	2	no	—
213	C₂⁴	—	4	2	no	—
214	C₂⁴	—	4	2	no	—
215	C₂⁴	—	8	4	no	—
216	C₂⁴	—	8	4	no	—
217	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	16	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	2	no	—
234	C₂×D₄	—	4	2	no	—
235	C₂×D₄	—	4	2	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	8	8	no	—
248	C₂×D₄	—	8	32	no	—
249	C₂×D₄	—	8	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
261	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	2	4	no	—
273	M₁₆	—	2	4	no	—
274	M₁₆	—	2	4	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	M₁₆	—	4	2	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	2	2	no	—
280	C₂×C₈	—	2	2	no	—
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	4	no	—
283	C₂×C₈	—	2	2	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	2	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	2	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	2	no	—
294	C₂×C₈	—	4	2	no	—
295	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
298	C₂×C₈	#127	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
310	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
317	C₄²	—	2	2	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	4	2	no	—
320	C₄²	—	4	2	no	—
321	C₄²	—	4	2	no	—
322	C₄²	—	4	2	no	—
323	C₄²	#123	1	4	yes	—
324	C₂³	—	2	2	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	4	4	no	—
328	C₂³	—	4	4	no	—
329	C₂³	—	8	8	no	—
330	C₂³	—	8	4	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	8	8	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	—	8	2	no	—
336	C₂³	—	8	4	no	—
337	C₂³	—	8	4	no	—
338	C₂³	—	8	2	no	—
339	C₂³	—	16	4	no	—
340	C₂³	—	16	2	no	—
341	C₂³	—	16	2	no	—
342	C₂³	—	16	4	no	—
343	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	#542	1	2	yes	—
345	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
346	C₂³	#550	1	1	yes	characteristic
347	C₂³	#551	1	2	yes	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	32	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	2	no	—
355	D₄	—	8	2	no	—
356	D₄	—	8	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	16	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	16	2	no	—
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#550	1	1	yes	characteristic
388	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
390	C₈	—	2	2	no	—
391	C₈	—	2	2	no	—
392	C₈	—	2	2	no	—
393	C₈	—	2	2	no	—
394	C₈	—	4	4	no	—
395	C₈	—	4	4	no	—
396	C₂²	—	2	1	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	1	no	—
399	C₂²	—	2	1	no	—
400	C₂²	—	2	4	no	—
401	C₂²	—	2	4	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	16	4	no	—
406	C₂²	—	16	4	no	—
407	C₂²	—	16	4	no	—
408	C₂²	—	16	2	no	—
409	C₂²	—	16	2	no	—
410	C₂²	—	16	4	no	—
411	C₂²	#2461	1	2	yes	—
412	C₂²	#2479	1	2	yes	—
413	C₂²	#2482	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#2632	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#3291	1	2	yes	—
417	C₂²	#3292	1	2	yes	—
418	C₄	—	2	8	no	—
419	C₄	—	8	2	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	—	16	2	no	—
423	C₄	#2397	1	1	yes	characteristic
424	C₄	#2461	1	2	yes	—
425	C₄	#2479	1	2	yes	—
426	C₄	#2501	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2854	1	1	yes	characteristic
429	C₂	—	2	1	no	—
430	C₂	—	2	1	no	—
431	C₂	—	2	2	no	—
432	C₂	—	16	4	no	—
433	C₂	#15084	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#26850	1	4	yes	—
435	C₂	#28502	1	1	yes	characteristic
436	C₂	#28504	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #23735	C₂	semidirect
3. #21091	C₂	semidirect
4. C₂×#1931	C₂	semidirect
5. C₂×#1772	C₂	semidirect
6. #11340	C₂	semidirect
7. #11127	C₂	semidirect
9. #10818	C₂	semidirect
62. C₂×#107	D₄	semidirect
63. C₂×#107	D₄	semidirect
65. C₂×#106	D₄	semidirect
101. #341	D₄	semidirect
103. #340	D₄	semidirect
104. #340	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#23735	2
C₂×#1957	2
#21091	2
C₂×#1931	2
C₂×#1772	2
#11340	2
#11127	2
#10975	2
#10818	2