Subgroups — #411108

Order 512.

758 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#21323	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20445	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#11387	C₂	1	2	yes	maximal
4	#11362	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11339	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11333	C₂	1	2	yes	maximal
7	#10904	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10889	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#2911	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#428	C₂²	1	2	yes	—
14	#2873	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2317	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#1993	—	2	2	no	—
19	#1991	—	2	2	no	—
20	#1773	—	2	2	no	—
21	#1772	—	2	2	no	—
22	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#344	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#343	C₂²	1	2	yes	—
25	#1740	C₂²	1	2	yes	—
26	#1736	C₂²	1	2	yes	—
27	#1736	C₂²	1	2	yes	—
28	#1736	C₂²	1	2	yes	—
29	#1733	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#338	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	#533	—	2	4	no	—
40	#533	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
42	C₂×#125	—	2	1	no	—
43	C₂×C₂²⋊Q₈	—	4	1	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	4	1	no	—
45	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#430	—	2	2	no	—
51	#430	Q₈	1	4	yes	complemented
52	C₂×#108	—	2	2	no	—
53	#428	—	2	2	no	—
54	#428	—	2	2	no	—
55	#428	—	4	2	no	—
56	#428	—	4	2	no	—
57	#427	—	2	2	no	—
58	C₂×#107	—	2	2	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	#405	—	2	4	no	—
61	#405	—	4	2	no	—
62	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
63	C₄×M₁₆	—	4	2	no	—
64	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
65	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
66	#389	—	4	2	no	—
67	#385	—	4	2	no	—
68	#384	—	2	2	no	—
69	#382	—	2	2	no	—
70	#382	—	2	1	no	—
71	#382	—	2	1	no	—
72	#382	—	4	1	no	—
73	C₂×#95	—	4	1	no	—
74	#344	—	2	4	no	—
75	#344	—	2	4	no	—
76	#343	—	4	2	no	—
77	#342	—	4	2	no	—
78	#340	—	2	4	no	—
79	#340	—	2	4	no	—
80	#340	—	4	2	no	—
81	#339	—	2	2	no	—
82	#339	—	2	2	no	—
83	#339	—	2	4	no	—
84	#339	—	4	2	no	—
85	#338	Q₈	1	4	yes	complemented
86	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
87	H(3,ℤ/4)	Q₈	1	4	yes	complemented
88	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
93	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
94	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
106	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	4	yes	—
108	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
109	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
111	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
118	#125	—	2	4	no	—
119	#125	—	4	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
121	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
122	#117	—	2	2	no	—
123	#117	—	2	2	no	—
124	#117	—	2	2	no	—
125	#117	—	2	2	no	—
126	#117	—	2	2	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	—	2	2	no	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	—	2	2	no	—
132	#117	C₂×Q₈	1	4	yes	—
133	#117	#41	1	4	yes	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	1	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
158	#108	—	2	8	no	—
159	#107	—	2	4	no	—
160	#107	—	4	4	no	—
161	#106	—	2	2	no	—
162	#106	—	2	2	no	—
163	#106	—	4	4	no	—
164	#97	—	2	4	no	—
165	#97	—	4	4	no	—
166	C₄×C₈	—	2	4	no	—
167	C₄×C₈	—	4	4	no	—
168	#95	—	4	2	no	—
169	#95	—	4	2	no	—
170	#95	—	4	4	no	—
171	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
172	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
173	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
174	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
186	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
188	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
190	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
192	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
193	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
195	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
196	M₁₆	—	2	4	no	—
197	M₁₆	—	2	4	no	—
198	M₁₆	—	2	4	no	—
199	M₁₆	—	2	4	no	—
200	M₁₆	—	2	4	no	—
201	M₁₆	—	2	4	no	—
202	M₁₆	—	2	4	no	—
203	M₁₆	—	2	4	no	—
204	M₁₆	—	4	2	no	—
205	M₁₆	—	4	2	no	—
206	M₁₆	—	4	2	no	—
207	M₁₆	—	4	2	no	—
208	C₂×C₈	—	2	2	no	—
209	C₂×C₈	—	2	2	no	—
210	C₂×C₈	—	2	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	2	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
219	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
220	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
227	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
241	C₄²	—	2	1	no	—
242	C₄²	—	2	1	no	—
243	C₄²	—	2	4	no	—
244	C₄²	—	2	4	no	—
245	C₄²	—	2	4	no	—
246	C₄²	—	4	2	no	—
247	C₄²	—	4	2	no	—
248	C₄²	—	4	2	no	—
249	C₄²	—	4	2	no	—
250	C₄²	#123	1	2	yes	—
251	C₄²	#123	1	2	yes	—
252	C₂³	—	4	2	no	—
253	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	#538	1	2	yes	—
255	C₂³	#551	1	2	yes	—
256	C₂³	#554	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	Q₈²	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	8	8	no	—
259	C₂×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂×C₄	—	4	4	no	—
267	C₂×C₄	—	8	4	no	—
268	C₂×C₄	—	8	2	no	—
269	C₂×C₄	—	8	2	no	—
270	C₂×C₄	—	8	4	no	—
271	C₂×C₄	—	8	2	no	—
272	C₂×C₄	—	8	2	no	—
273	C₂×C₄	—	8	4	no	—
274	C₂×C₄	—	8	4	no	—
275	C₂×C₄	—	8	2	no	—
276	C₂×C₄	—	16	2	no	—
277	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₄	#529	1	2	yes	—
282	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
284	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#533	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	#538	1	2	yes	—
288	C₂×C₄	#551	1	2	yes	—
289	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
290	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	#554	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	Q₈²	1	1	yes	characteristic
294	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
295	C₈	—	2	4	no	—
296	C₈	—	2	4	no	—
297	C₈	—	4	4	no	—
298	C₈	—	4	4	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	1	no	—
304	C₂²	—	4	1	no	—
305	C₂²	#2482	1	1	yes	characteristic
306	C₂²	#2567	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	#2586	1	2	yes	—
308	C₂²	#2589	1	2	yes	—
309	C₂²	#2631	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	4	2	no	—
311	C₄	—	4	2	no	—
312	C₄	—	8	4	no	—
313	C₄	—	8	4	no	—
314	C₄	—	8	2	no	—
315	C₄	—	8	2	no	—
316	C₄	—	16	2	no	—
317	C₄	#2399	1	1	yes	characteristic
318	C₄	#2502	1	1	yes	characteristic
319	C₄	#2580	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#2586	1	2	yes	—
321	C₄	#2589	1	2	yes	—
322	C₄	#2855	1	1	yes	characteristic
323	C₂	—	2	1	no	—
324	C₂	—	2	2	no	—
325	C₂	—	2	1	no	—
326	C₂	—	2	2	no	—
327	C₂	#15104	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#30056	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2631
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	H(5,𝔽₂)
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
51. #430	Q₈	semidirect
85. #338	Q₈	semidirect
87. H(3,ℤ/4)	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#21323	2
#20445	2
#11387	2
#11362	2
#11339	2
#11333	2
#10904	2
#10889	2
#10813	2