Subgroups — #411600

Order 512.

2288 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 442 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#461	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#2014	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1804	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14274	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11052	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11023	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂³×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#461	—	2	8	no	—
14	C₂×#461	—	2	8	no	—
15	C₂×#461	—	2	8	no	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
19	#2328	—	2	8	no	—
20	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#386	—	2	4	no	—
24	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2014	—	2	8	no	—
28	#1804	—	2	8	no	—
29	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
32	#1445	—	2	4	no	—
33	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
37	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
39	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
40	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
41	C₂²×SD₁₆	—	2	8	no	—
42	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
43	C₂²×SD₁₆	—	4	4	no	—
44	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	4	yes	complemented
49	C₂×#127	—	2	4	no	—
50	C₂×#127	—	2	4	no	—
51	C₂×#127	—	2	2	no	—
52	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
53	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
58	C₂×C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#461	—	2	64	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
70	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	—	2	8	no	—
73	C₂×#103	—	2	8	no	—
74	C₂×#102	—	2	8	no	—
75	C₂×#102	—	2	8	no	—
76	C₂×#102	—	4	4	no	—
77	#391	—	2	4	no	—
78	#391	—	2	4	no	—
79	#391	—	4	4	no	—
80	#390	—	2	4	no	—
81	#390	—	2	4	no	—
82	#386	—	2	32	no	—
83	#382	—	2	4	no	—
84	#382	—	2	4	no	—
85	#376	—	2	4	no	—
86	C₂×#95	—	2	2	no	—
87	C₂×#95	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	4	no	—
90	C₂×#95	D₄	1	4	yes	—
91	#340	—	2	8	no	—
92	#336	—	2	4	no	—
93	#336	—	4	2	no	—
94	C₂⁵	—	2	2	no	—
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
120	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
121	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
123	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
125	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
126	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
127	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
128	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₄	—	8	8	no	—
130	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
134	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
135	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
136	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
137	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
138	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
139	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
140	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	#127	—	2	16	no	—
151	#127	—	2	16	no	—
152	C₄×D₄	—	2	16	no	—
153	C₄×D₄	—	2	16	no	—
154	C₄×D₄	—	4	8	no	—
155	C₄×D₄	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
185	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
186	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
187	#103	—	2	32	no	—
188	#102	—	4	16	no	—
189	#95	—	2	8	no	—
190	#95	—	2	8	no	—
191	#95	—	4	8	no	—
192	#95	—	4	8	no	—
193	#95	—	4	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	2	no	—
198	C₂⁴	—	4	2	no	—
199	C₂⁴	—	4	2	no	—
200	C₂⁴	—	4	2	no	—
201	C₂⁴	—	4	8	no	—
202	C₂⁴	—	4	8	no	—
203	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	2	32	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	4	no	—
232	C₂×D₄	—	2	4	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	2	4	no	—
235	C₂×D₄	—	2	4	no	—
236	C₂×D₄	—	4	2	no	—
237	C₂×D₄	—	4	2	no	—
238	C₂×D₄	—	4	2	no	—
239	C₂×D₄	—	4	2	no	—
240	C₂×D₄	—	4	2	no	—
241	C₂×D₄	—	4	2	no	—
242	C₂×D₄	—	4	2	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	—	4	2	no	—
245	C₂×D₄	—	4	2	no	—
246	C₂×D₄	—	4	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	8	16	no	—
249	C₂×D₄	—	8	16	no	—
250	C₂×D₄	—	8	16	no	—
251	C₂×D₄	#121	1	8	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
276	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
277	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
278	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
279	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
282	C₂²×C₄	#127	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
293	SD₁₆	—	4	64	no	—
294	C₂×C₈	—	2	8	no	—
295	C₂×C₈	—	2	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	8	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	—	4	4	no	—
299	C₂×C₈	—	4	4	no	—
300	C₂×C₈	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
306	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
310	C₄²	—	2	4	no	—
311	C₄²	—	2	4	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	4	2	no	—
314	C₄²	#120	1	8	yes	—
315	C₄²	#121	1	8	yes	—
316	C₂³	—	2	8	no	—
317	C₂³	—	4	16	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	8	no	—
321	C₂³	—	4	8	no	—
322	C₂³	—	4	16	no	—
323	C₂³	—	4	4	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	4	no	—
329	C₂³	—	8	8	no	—
330	C₂³	—	8	8	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	8	4	no	—
333	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
335	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#535	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#577	1	8	yes	—
341	Q₈	—	4	8	no	—
342	Q₈	—	4	8	no	—
343	Q₈	—	8	4	no	—
344	Q₈	—	8	4	no	—
345	D₄	—	2	8	no	—
346	D₄	—	2	8	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	8	32	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	8	no	—
356	C₂×C₄	—	2	8	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	2	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	4	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	32	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	—	8	2	no	—
373	C₂×C₄	—	8	4	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	2	no	—
376	C₂×C₄	—	8	2	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	#392	1	8	yes	—
382	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
398	C₈	—	4	8	no	—
399	C₂²	—	4	8	no	—
400	C₂²	—	4	16	no	—
401	C₂²	—	8	8	no	—
402	C₂²	—	8	8	no	—
403	C₂²	—	8	8	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	8	no	—
407	C₂²	—	8	8	no	—
408	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
409	C₂²	#2535	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2540	1	1	yes	characteristic
412	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
413	C₂²	#2615	1	1	yes	characteristic
414	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
415	C₂²	#3009	1	4	yes	—
416	C₂²	#3042	1	4	yes	—
417	C₂²	#3043	1	4	yes	—
418	C₂²	#3123	1	4	yes	—
419	C₂²	#3154	1	4	yes	—
420	C₂²	#3221	1	4	yes	—
421	C₂²	#3260	1	4	yes	—
422	C₄	—	2	8	no	—
423	C₄	—	4	4	no	—
424	C₄	—	8	4	no	—
425	C₄	—	8	4	no	—
426	C₄	—	8	2	no	—
427	C₄	—	16	2	no	—
428	C₄	#2407	1	2	yes	—
429	C₄	#2408	1	2	yes	—
430	C₄	#2414	1	2	yes	—
431	C₄	#2416	1	2	yes	—
432	C₂	—	8	8	no	—
433	C₂	#15123	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#23423	1	2	yes	—
435	C₂	#28166	1	2	yes	—
436	C₂	#28260	1	2	yes	—
437	C₂	#28388	1	2	yes	—
438	C₂	#28455	1	2	yes	—
439	C₂	#29673	1	2	yes	—
440	C₂	#32914	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#461	C₂	semidirect
4. C₂×#1804	C₂	semidirect
5. #14274	C₂	semidirect
6. #11052	C₂	semidirect
7. #11023	C₂	semidirect
8. #10833	C₂	semidirect
48. C₂×C₄⋊Q₈	D₄	semidirect
70. C₂×C₄⋊C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#461	2
C₂×#2328	2
C₂×#2014	2
C₂×#1804	2
#14274	2
#11052	2
#11023	2
#10833	2