Subgroups — #411613

Order 512.

1834 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 438 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#473	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#23429	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11021	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10865	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#137	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#473	—	2	8	no	—
14	C₂×#473	—	2	8	no	—
15	C₂×#473	—	2	8	no	—
16	#2932	—	2	8	no	—
17	C₂×#435	—	2	4	no	—
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂²×#103	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#101	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
27	#2016	—	2	2	no	—
28	#2015	—	2	4	no	—
29	#2014	—	2	2	no	—
30	#1971	—	2	4	no	—
31	#1815	—	2	8	no	—
32	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
34	#1728	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#137	—	2	8	no	—
38	C₂×#137	—	2	8	no	—
39	C₂×#137	—	2	8	no	—
40	C₂×#137	—	2	8	no	—
41	C₂×#137	—	4	4	no	—
42	C₂×#137	—	4	4	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
47	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
48	C₂²×Q₁₆	D₄	1	4	yes	complemented
49	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂×#131	—	2	4	no	—
52	C₂×#131	—	2	4	no	—
53	C₂×#131	—	2	4	no	—
54	C₂×#131	—	2	4	no	—
55	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
56	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
57	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#532	—	2	4	no	—
63	#532	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
67	C₂×#121	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#473	—	2	64	no	—
72	#435	—	2	32	no	—
73	C₂×#108	—	2	4	no	—
74	C₂×#108	—	2	4	no	—
75	C₂×#108	D₄	1	8	yes	complemented
76	C₂×#106	—	2	4	no	—
77	C₂×#106	—	2	2	no	—
78	#423	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
80	#417	—	2	8	no	—
81	#417	—	4	4	no	—
82	C₂×#103	—	2	4	no	—
83	C₂×#103	—	2	4	no	—
84	C₂×#103	—	4	4	no	—
85	C₂×#102	—	2	4	no	—
86	C₂×#101	—	2	8	no	—
87	C₂×#101	—	2	8	no	—
88	C₂×#101	—	2	8	no	—
89	#408	—	2	4	no	—
90	#408	—	2	4	no	—
91	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
92	C₂×#97	—	2	4	no	—
93	C₂×#97	D₄	1	4	yes	—
94	#391	—	2	4	no	—
95	#391	—	2	2	no	—
96	#391	—	2	2	no	—
97	C₂×#95	—	2	4	no	—
98	#343	—	2	8	no	—
99	#341	—	4	2	no	—
100	#336	—	2	2	no	—
101	#336	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
114	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
115	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
124	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
129	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	#137	—	2	32	no	—
134	#137	—	4	16	no	—
135	#137	—	4	16	no	—
136	#137	—	4	16	no	—
137	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
138	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
140	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
141	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
142	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
144	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
145	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
146	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
147	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
148	#131	—	2	16	no	—
149	#131	—	2	16	no	—
150	#131	—	4	8	no	—
151	#131	—	4	8	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
160	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
161	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
163	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
164	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
165	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
166	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
171	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
173	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
179	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
182	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
183	#127	—	2	4	no	—
184	#124	—	2	4	no	—
185	#124	—	2	4	no	—
186	#121	—	2	16	no	—
187	C₄×D₄	—	2	8	no	—
188	C₄×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
194	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
195	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	#108	—	2	16	no	—
201	#106	—	4	4	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
203	#103	—	4	8	no	—
204	#103	—	4	8	no	—
205	#102	—	4	8	no	—
206	#101	—	2	32	no	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
208	#97	—	2	8	no	—
209	#95	—	4	4	no	—
210	#95	—	4	4	no	—
211	C₂⁴	—	2	2	no	—
212	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
213	#41	—	2	4	no	—
214	#41	—	2	4	no	—
215	#41	—	2	4	no	—
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	2	no	—
223	#41	—	4	2	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
250	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
251	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
252	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	8	no	—
256	C₂×D₄	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	2	2	no	—
258	C₂×D₄	—	2	2	no	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	—	4	2	no	—
262	C₂×D₄	—	4	2	no	—
263	C₂×D₄	—	4	2	no	—
264	C₂×D₄	—	4	2	no	—
265	C₂×D₄	—	8	4	no	—
266	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
267	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
285	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
293	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
296	Q₁₆	—	4	32	no	—
297	Q₁₆	—	4	16	no	—
298	SD₁₆	—	4	32	no	—
299	M₁₆	—	2	4	no	—
300	M₁₆	—	2	8	no	—
301	M₁₆	—	2	4	no	—
302	M₁₆	—	2	8	no	—
303	M₁₆	—	4	2	no	—
304	M₁₆	—	4	2	no	—
305	M₁₆	—	4	4	no	—
306	M₁₆	—	4	4	no	—
307	M₁₆	—	4	16	no	—
308	C₂×C₈	—	2	2	no	—
309	C₂×C₈	—	2	4	no	—
310	C₂×C₈	—	2	2	no	—
311	C₂×C₈	—	2	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	8	no	—
313	C₂×C₈	—	4	2	no	—
314	C₂×C₈	—	4	4	no	—
315	C₂×C₈	—	4	2	no	—
316	C₂×C₈	—	4	2	no	—
317	C₂×C₈	—	4	2	no	—
318	C₂×C₈	—	4	4	no	—
319	C₂×C₈	—	4	16	no	—
320	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
321	C₂×C₈	#120	1	8	yes	—
322	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
323	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
324	C₂×C₈	#127	1	4	yes	—
325	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	2	no	—
334	C₂³	—	2	4	no	—
335	C₂³	—	2	4	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	8	no	—
339	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#525	1	2	yes	—
341	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#550	1	2	yes	—
343	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	4	no	—
345	Q₈	—	2	4	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	—	4	2	no	—
348	Q₈	—	4	4	no	—
349	Q₈	—	4	8	no	—
350	Q₈	—	4	4	no	—
351	Q₈	—	8	2	no	—
352	Q₈	—	8	4	no	—
353	Q₈	—	8	2	no	—
354	D₄	—	2	4	no	—
355	D₄	—	2	4	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	4	no	—
358	D₄	—	4	4	no	—
359	D₄	—	4	4	no	—
360	D₄	—	4	2	no	—
361	D₄	—	4	2	no	—
362	D₄	—	8	8	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	4	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	2	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	16	4	no	—
383	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
385	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
401	C₈	—	4	2	no	—
402	C₈	—	4	4	no	—
403	C₈	—	4	8	no	—
404	C₈	#392	1	8	yes	—
405	C₂²	—	2	4	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	2	2	no	—
408	C₂²	—	2	4	no	—
409	C₂²	—	4	4	no	—
410	C₂²	—	4	8	no	—
411	C₂²	—	8	4	no	—
412	C₂²	—	8	4	no	—
413	C₂²	#2407	1	2	yes	—
414	C₂²	#2414	1	2	yes	—
415	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
416	C₂²	#2541	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#3069	1	4	yes	—
419	C₄	—	4	4	no	—
420	C₄	—	4	2	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	8	4	no	—
423	C₄	—	16	2	no	—
424	C₄	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
425	C₄	#2408	1	2	yes	—
426	C₄	#2416	1	2	yes	—
427	C₄	#2535	1	1	yes	characteristic
428	C₄	#2540	1	1	yes	characteristic
429	C₄	#2615	1	1	yes	characteristic
430	C₂	—	2	2	no	—
431	C₂	—	2	2	no	—
432	C₂	—	8	4	no	—
433	C₂	#15123	1	1	yes	characteristic
434	C₂	#28244	1	2	yes	—
435	C₂	#28499	1	2	yes	—
436	C₂	#32946	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#473	C₂	semidirect
4. C₂×#1971	C₂	semidirect
5. C₂×#1815	C₂	semidirect
6. #11045	C₂	semidirect
7. #11021	C₂	semidirect
8. #10865	C₂	semidirect
48. C₂²×Q₁₆	D₄	semidirect
75. C₂×#108	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#473	2
C₂×#2932	2
#23429	2
C₂×#1971	2
C₂×#1815	2
#11045	2
#11021	2
#10865	2