Subgroups — #411774

Order 512.

2370 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#3038	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2018	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1965	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄×#408	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11027	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	—	2	2	no	—
13	C₂×#493	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	—	2	8	no	—
15	#3038	—	2	8	no	—
16	#3038	—	2	8	no	—
17	C₂×#460	—	2	4	no	—
18	C₂×#459	—	2	4	no	—
19	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#100	C₂²	1	8	yes	—
22	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2018	—	2	16	no	—
26	#1965	—	2	8	no	—
27	#1750	—	2	2	no	—
28	C₄×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
29	C₂×#341	C₂²	1	4	yes	—
30	#1729	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
33	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
34	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
35	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	16	no	—
36	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
37	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
38	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
44	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#127	—	2	4	no	—
49	C₂×#127	—	2	2	no	—
50	C₂×#127	—	2	2	no	—
51	C₂×#127	—	2	4	no	—
52	C₂×#127	—	2	4	no	—
53	C₂×#127	—	2	4	no	—
54	C₂×#127	D₄	1	8	yes	—
55	C₄×#41	—	2	4	no	—
56	C₄×#41	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
59	C₂×C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
60	C₂×#117	—	2	1	no	—
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#493	—	2	16	no	—
65	#493	—	2	16	no	—
66	#460	—	2	32	no	—
67	#459	—	2	32	no	—
68	#423	—	2	4	no	—
69	#423	D₄	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
71	#418	—	2	8	no	—
72	#418	—	2	8	no	—
73	C₂×#102	—	2	8	no	—
74	C₂×#100	—	2	16	no	—
75	C₂×#100	—	2	16	no	—
76	C₂×#100	—	4	8	no	—
77	#408	—	2	4	no	—
78	#408	D₄	1	8	yes	complemented
79	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	4	no	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	#341	—	2	8	no	—
87	#336	—	2	4	no	—
88	C₂⁵	—	2	4	no	—
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	—	2	2	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
110	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
117	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
118	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
120	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
121	C₂×D₈	—	2	32	no	—
122	C₂×D₈	—	2	16	no	—
123	C₂×D₈	—	4	32	no	—
124	C₂×D₈	—	4	32	no	—
125	C₂×D₈	—	4	16	no	—
126	C₂×D₈	—	4	8	no	—
127	C₂×D₈	—	4	8	no	—
128	C₂×D₈	—	4	16	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
136	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
144	#127	—	2	16	no	—
145	#127	—	2	8	no	—
146	#127	—	2	8	no	—
147	#127	—	4	8	no	—
148	#127	—	4	4	no	—
149	#127	—	4	4	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
151	C₄×D₄	—	2	8	no	—
152	C₄×D₄	—	4	8	no	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	4	2	no	—
156	#117	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
171	#102	—	2	32	no	—
172	#100	—	4	32	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
174	#97	—	4	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	4	no	—
176	C₄×C₈	—	2	4	no	—
177	C₄×C₈	—	4	2	no	—
178	C₂⁴	—	2	1	no	—
179	C₂⁴	—	2	8	no	—
180	C₂⁴	—	4	4	no	—
181	C₂⁴	—	4	4	no	—
182	C₂⁴	—	4	8	no	—
183	C₂⁴	—	4	8	no	—
184	C₂⁴	—	8	16	no	—
185	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	2	8	no	—
187	#41	—	2	8	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
193	C₂×Q₈	#127	1	2	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	2	no	—
196	C₂×D₄	—	2	8	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×D₄	—	2	16	no	—
202	C₂×D₄	—	4	2	no	—
203	C₂×D₄	—	4	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	8	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	4	no	—
209	C₂×D₄	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	8	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	8	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	8	16	no	—
221	C₂×D₄	—	8	32	no	—
222	C₂×D₄	—	8	32	no	—
223	C₂×D₄	—	8	16	no	—
224	C₂×D₄	#127	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
234	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
244	SD₁₆	—	4	32	no	—
245	D₈	—	4	64	no	—
246	D₈	—	4	32	no	—
247	M₁₆	—	2	8	no	—
248	M₁₆	—	2	16	no	—
249	M₁₆	—	4	8	no	—
250	M₁₆	—	4	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₂×C₈	—	2	8	no	—
254	C₂×C₈	—	2	8	no	—
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	—	4	2	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
266	C₄²	—	4	1	no	—
267	C₄²	—	4	1	no	—
268	C₄²	—	4	4	no	—
269	C₄²	#120	1	2	yes	—
270	C₄²	#120	1	2	yes	—
271	C₄²	#120	1	8	yes	—
272	C₄²	#127	1	2	yes	—
273	C₄²	#127	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	2	2	no	—
276	C₂³	—	4	1	no	—
277	C₂³	—	4	1	no	—
278	C₂³	—	4	4	no	—
279	C₂³	—	4	8	no	—
280	C₂³	—	4	16	no	—
281	C₂³	—	8	16	no	—
282	C₂³	—	8	16	no	—
283	C₂³	—	8	4	no	—
284	C₂³	—	8	4	no	—
285	C₂³	—	8	8	no	—
286	C₂³	—	8	16	no	—
287	C₂³	—	16	16	no	—
288	C₂³	—	16	16	no	—
289	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
290	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#532	1	2	yes	—
292	C₂³	#540	1	2	yes	—
293	Q₈	—	2	4	no	—
294	Q₈	—	4	2	no	—
295	D₄	—	2	4	no	—
296	D₄	—	4	8	no	—
297	D₄	—	4	16	no	—
298	D₄	—	4	2	no	—
299	D₄	—	4	8	no	—
300	D₄	—	4	8	no	—
301	D₄	—	8	32	no	—
302	D₄	—	8	4	no	—
303	D₄	—	8	4	no	—
304	D₄	—	8	32	no	—
305	D₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	16	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	8	no	—
316	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	#392	1	4	yes	—
318	C₂×C₄	#472	1	8	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×#120	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
330	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
331	C₈	—	2	8	no	—
332	C₈	—	4	8	no	—
333	C₈	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	2	4	no	—
335	C₂²	—	2	4	no	—
336	C₂²	—	2	4	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	8	2	no	—
340	C₂²	—	8	2	no	—
341	C₂²	—	8	8	no	—
342	C₂²	—	8	16	no	—
343	C₂²	—	16	16	no	—
344	C₂²	—	16	16	no	—
345	C₂²	—	16	8	no	—
346	C₂²	—	16	8	no	—
347	C₂²	C₂×#392	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2428	1	4	yes	—
349	C₂²	#2619	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#472	1	4	yes	—
352	C₄	—	2	4	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	—	8	2	no	—
355	C₄	#2018	1	8	yes	complemented
356	C₄	#2408	1	2	yes	—
357	C₄	#2431	1	2	yes	—
358	C₄	#2433	1	2	yes	—
359	C₄	#2541	1	2	yes	—
360	C₂	—	2	4	no	—
361	C₂	—	8	2	no	—
362	C₂	—	16	8	no	—
363	C₂	#15124	1	1	yes	characteristic
364	C₂	C₂×#2018	1	2	yes	—
365	C₂	#29818	1	2	yes	—
366	C₂	#33190	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#493	C₂	semidirect
2. C₂×#3038	C₂	semidirect
3. C₂×#2018	C₂	semidirect
4. C₂×#1965	C₂	semidirect
5. C₄×#408	C₂	semidirect
6. #11027	C₂	semidirect
7. #10844	C₂	semidirect
78. #408	D₄	semidirect
355. C₄	#2018	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#3038	2
C₂×#2018	2
C₂×#1965	2
C₄×#408	2
#11027	2
#10844	2