Subgroups — #411912

Order 512.

1392 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 398 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#1807	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₈×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#15216	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11256	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11096	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10861	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂⁴×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×#125	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#499	—	2	8	no	—
13	C₂×#499	—	2	4	no	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#1807	—	2	8	no	—
23	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
24	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#1442	—	2	4	no	—
30	#1439	—	2	4	no	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
34	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
35	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
38	C₂³×C₈	Q₈	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#125	—	2	8	no	—
44	C₂×#125	—	2	4	no	—
45	C₂×#125	—	2	4	no	—
46	C₂×#125	—	4	4	no	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
51	C₂²×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#499	—	2	32	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	8	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#106	—	2	4	no	—
62	C₂×#106	D₄	1	8	yes	—
63	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×C₂²⋊C₈	Q₈	1	4	yes	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
70	#380	—	2	8	no	—
71	#380	—	4	4	no	—
72	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
74	C₂×#95	—	2	4	no	—
75	C₂×#95	—	2	4	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
79	#340	—	2	4	no	—
80	#340	—	2	8	no	—
81	#340	—	4	4	no	—
82	#336	—	2	2	no	—
83	#336	—	2	2	no	—
84	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
87	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
114	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
115	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
123	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
124	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
125	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
126	#125	—	2	16	no	—
127	#125	—	4	16	no	—
128	#125	—	4	8	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
147	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
157	#107	—	2	16	no	—
158	#106	—	2	16	no	—
159	#106	—	4	8	no	—
160	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
161	C₄×C₈	—	2	8	no	—
162	C₄×C₈	—	4	4	no	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	#95	—	4	8	no	—
165	#95	—	4	8	no	—
166	#95	—	8	4	no	—
167	#95	—	8	4	no	—
168	C₂⁴	—	2	1	no	—
169	C₂⁴	—	2	1	no	—
170	C₂⁴	—	2	2	no	—
171	C₂⁴	—	2	2	no	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
175	C₂⁴	#135	1	4	yes	—
176	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
177	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
221	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
234	C₂×C₈	—	2	2	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	4	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	1	no	—
244	C₂×C₈	—	4	1	no	—
245	C₂×C₈	—	4	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	1	no	—
247	C₂×C₈	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	4	16	no	—
249	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
251	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
252	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
253	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
254	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
255	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	—	4	1	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	2	no	—
272	C₂³	—	2	8	no	—
273	C₂³	—	2	2	no	—
274	C₂³	—	2	2	no	—
275	C₂³	—	2	4	no	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	4	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	2	4	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	2	no	—
282	C₂³	—	4	1	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	1	no	—
286	C₂³	—	4	2	no	—
287	C₂³	#499	1	4	yes	complemented
288	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
292	C₂³	#547	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
295	C₂³	#577	1	4	yes	—
296	C₂×C₄	—	2	8	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	1	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	4	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	—	8	4	no	—
322	C₂×C₄	—	8	4	no	—
323	C₂×C₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	8	4	no	—
325	C₂×C₄	—	8	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
349	C₈	—	2	4	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	#393	1	8	yes	—
353	C₂²	—	2	4	no	—
354	C₂²	—	2	8	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	4	no	—
357	C₂²	—	4	8	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	4	no	—
361	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#2440	1	2	yes	—
363	C₂²	#2491	1	2	yes	—
364	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#3050	1	2	yes	—
367	C₂²	#3060	1	2	yes	—
368	C₂²	C₂×#499	1	1	yes	characteristic
369	C₂²	#3160	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#3163	1	2	yes	—
371	C₂²	#3168	1	2	yes	—
372	C₂²	#3174	1	2	yes	—
373	C₂²	#3282	1	4	yes	—
374	C₂²	#3284	1	4	yes	—
375	C₂²	#3337	1	4	yes	—
376	C₂²	#3337	1	4	yes	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	4	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	8	no	—
381	C₄	—	16	4	no	—
382	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
384	C₄	#2439	1	2	yes	—
385	C₄	#2492	1	2	yes	—
386	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
388	C₂	—	4	4	no	—
389	C₂	#15125	1	1	yes	characteristic
390	C₂	#24265	1	2	yes	—
391	C₂	#26062	1	2	yes	—
392	C₂	#26063	1	2	yes	—
393	C₂	#27788	1	4	yes	—
394	C₂	#28707	1	2	yes	—
395	C₂	#33208	1	1	yes	characteristic
396	C₂	#33214	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₂²⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#499	C₂	semidirect
5. #11385	C₂	semidirect
6. #11256	C₂	semidirect
8. #10861	C₂	semidirect
9. #10861	C₂	semidirect
287. C₂³	#499	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#499	2
C₂×#1807	2
C₂×C₈×C₂²⋊C₄	2
#15216	2
#11385	2
#11256	2
#11096	2
#10861	2