Subgroups — #411933

Order 512.

1250 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 384 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#23452	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1816	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11382	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11270	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11107	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10870	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#500	—	2	8	no	—
13	C₂×#500	—	2	2	no	—
14	C₂×#500	—	2	2	no	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2024	—	2	4	no	—
24	#2023	—	2	4	no	—
25	#1816	—	2	8	no	—
26	#1753	—	2	2	no	—
27	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	complemented
41	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
42	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
52	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#500	—	2	16	no	—
57	#500	—	2	16	no	—
58	C₂×#108	—	2	4	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	4	no	—
61	C₂×#107	—	2	4	no	—
62	C₂×#107	—	2	2	no	—
63	C₂×#107	—	2	2	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	8	no	—
66	C₂×#107	D₄	1	8	yes	—
67	#417	—	2	8	no	—
68	#417	—	4	4	no	—
69	C₂×#103	—	2	4	no	—
70	C₂×#102	—	2	4	no	—
71	#408	—	2	2	no	—
72	#408	Q₈	1	4	yes	complemented
73	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
74	#405	—	2	4	no	—
75	C₂×#97	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
78	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
80	#391	D₄	1	2	yes	—
81	#390	D₄	1	2	yes	—
82	#386	—	2	1	no	—
83	#386	—	2	1	no	—
84	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
85	#343	—	2	8	no	—
86	#343	—	4	4	no	—
87	#341	—	2	4	no	—
88	#340	—	2	8	no	—
89	#336	—	2	2	no	—
90	#336	—	2	2	no	—
91	#336	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	1	no	—
93	C₂×#41	—	2	1	no	—
94	C₂×#41	—	2	2	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
103	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
105	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
108	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	#131	—	2	16	no	—
112	#131	—	4	8	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
128	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
129	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
138	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
144	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
149	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
150	#117	—	2	2	no	—
151	#117	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	#108	—	4	8	no	—
170	#107	—	2	16	no	—
171	#107	—	2	8	no	—
172	#107	—	2	8	no	—
173	#103	—	4	8	no	—
174	#102	—	4	8	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
176	#97	—	4	2	no	—
177	C₄×C₈	—	2	4	no	—
178	C₄×C₈	—	2	4	no	—
179	C₄×C₈	—	4	2	no	—
180	#95	—	2	2	no	—
181	#95	—	2	2	no	—
182	C₂⁴	—	2	1	no	—
183	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	2	4	no	—
186	#41	—	2	4	no	—
187	#41	—	2	4	no	—
188	#41	—	4	2	no	—
189	#41	—	4	2	no	—
190	#41	—	4	2	no	—
191	#41	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
195	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
196	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
197	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
199	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	1	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	2	no	—
206	C₂×D₄	—	4	2	no	—
207	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
217	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
224	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
236	M₁₆	—	2	4	no	—
237	M₁₆	—	2	4	no	—
238	M₁₆	—	4	2	no	—
239	M₁₆	—	4	2	no	—
240	M₁₆	—	4	8	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	4	4	no	—
243	M₁₆	—	4	4	no	—
244	M₁₆	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	2	2	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	—	4	1	no	—
253	C₂×C₈	—	4	1	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	4	no	—
257	C₂×C₈	—	4	4	no	—
258	C₂×C₈	—	4	4	no	—
259	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
260	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
261	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
262	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
263	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
265	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	#124	1	8	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄²	—	2	2	no	—
278	C₄²	—	2	2	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	4	1	no	—
281	C₄²	—	4	1	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	2	2	no	—
285	C₂³	—	4	1	no	—
286	C₂³	—	4	1	no	—
287	C₂³	—	4	2	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	#546	1	2	yes	—
293	C₂³	#556	1	2	yes	—
294	Q₈	—	2	4	no	—
295	Q₈	—	4	2	no	—
296	Q₈	—	8	32	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	4	4	no	—
299	D₄	—	4	4	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	8	no	—
302	C₂×C₄	—	2	8	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	1	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	8	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	8	no	—
320	C₂×C₄	—	8	8	no	—
321	C₂×C₄	#472	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#473	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	4	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	8	4	no	—
345	C₈	#393	1	4	yes	—
346	C₈	#393	1	4	yes	—
347	C₂²	—	2	4	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	8	2	no	—
355	C₂²	—	8	1	no	—
356	C₂²	—	8	1	no	—
357	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#2439	1	2	yes	—
359	C₂²	#2492	1	2	yes	—
360	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	C₂×#472	1	2	yes	—
363	C₂²	C₂×#473	1	2	yes	—
364	C₄	—	2	4	no	—
365	C₄	—	2	4	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	8	no	—
369	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2440	1	2	yes	—
372	C₄	#2491	1	2	yes	—
373	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	8	2	no	—
378	C₂	#15125	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#24281	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#24282	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#28731	1	2	yes	—
382	C₂	#33222	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂²×#500	C₂	semidirect
5. #11382	C₂	semidirect
6. #11270	C₂	semidirect
8. #10870	C₂	semidirect
9. #10864	C₂	semidirect
40. C₂×#131	Q₈	semidirect
72. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
#23452	2
C₂×#1816	2
#20383	2
#11382	2
#11270	2
#11107	2
#10870	2
#10864	2