Subgroups — #411940

Order 512.

1116 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#23461	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20678	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11391	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11111	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#10859	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	C₂²×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#3458	C₂²	1	2	yes	—
12	#3164	—	2	4	no	—
13	#3163	—	2	4	no	—
14	#3162	—	2	2	no	—
15	#3160	—	2	2	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	#2911	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	#2896	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2297	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#2028	—	2	4	no	—
25	#2027	—	2	4	no	—
26	#1816	—	2	4	no	—
27	#1815	—	2	4	no	—
28	#1753	—	2	2	no	—
29	C₈×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
30	#1742	C₂²	1	4	yes	—
31	#1742	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#339	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
34	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1729	C₂²	1	4	yes	—
36	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	Q₈	1	4	yes	complemented
43	C₂²×M₁₆	—	2	1	no	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#544	—	2	8	no	—
51	#544	—	2	4	no	—
52	#543	—	2	4	no	—
53	#533	—	2	4	no	—
54	#533	—	4	4	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#501	—	2	16	no	—
59	#500	—	2	4	no	—
60	#499	—	2	4	no	—
61	#499	—	2	4	no	—
62	#498	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	2	no	—
64	C₂×#108	—	2	2	no	—
65	C₂×#108	—	2	4	no	—
66	C₂×#108	—	2	4	no	—
67	#428	—	2	8	no	—
68	#427	—	2	2	no	—
69	#427	—	2	4	no	—
70	#427	—	2	2	no	—
71	#427	—	2	2	no	—
72	#427	—	2	2	no	—
73	C₂×#107	D₄	1	4	yes	—
74	C₂×#106	D₄	1	4	yes	—
75	#419	—	2	4	no	—
76	#418	—	2	4	no	—
77	#417	—	2	8	no	—
78	#416	—	4	4	no	—
79	#408	—	2	2	no	—
80	#408	Q₈	1	4	yes	complemented
81	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
87	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
88	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
89	#391	D₄	1	2	yes	—
90	#390	D₄	1	2	yes	—
91	#386	—	2	2	no	—
92	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
93	#343	—	2	8	no	—
94	#343	—	2	4	no	—
95	#339	—	2	8	no	—
96	#338	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	4	4	no	—
100	C₂×#41	—	2	1	no	—
101	C₂×#41	—	2	1	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂×#41	C₂×Q₈	1	2	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
110	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	#131	—	2	8	no	—
115	#131	—	2	8	no	—
116	#131	—	4	4	no	—
117	#131	—	4	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	4	2	no	—
132	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
133	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
142	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	1	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
155	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
156	#125	—	2	8	no	—
157	#125	—	4	8	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
160	C₄×Q₈	—	4	8	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	4	no	—
164	#117	—	2	4	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
178	#108	—	4	4	no	—
179	#108	—	4	4	no	—
180	#107	—	2	8	no	—
181	#107	—	2	4	no	—
182	#107	—	2	4	no	—
183	#106	—	2	8	no	—
184	#106	—	2	4	no	—
185	#106	—	2	4	no	—
186	#103	—	4	8	no	—
187	#102	—	4	8	no	—
188	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	C₄×C₈	—	2	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	2	no	—
192	C₄×C₈	—	4	2	no	—
193	C₄×C₈	—	4	2	no	—
194	#95	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	1	no	—
196	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
197	#41	—	2	4	no	—
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	2	no	—
203	#41	—	4	2	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	1	no	—
213	C₂×D₄	—	2	2	no	—
214	C₂×D₄	—	2	2	no	—
215	C₂×D₄	—	4	2	no	—
216	C₂×D₄	—	4	2	no	—
217	C₂×D₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
229	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	2	4	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	M₁₆	—	4	2	no	—
244	M₁₆	—	4	8	no	—
245	M₁₆	—	4	4	no	—
246	M₁₆	—	4	4	no	—
247	M₁₆	—	4	4	no	—
248	M₁₆	—	4	4	no	—
249	C₂×C₈	—	2	2	no	—
250	C₂×C₈	—	2	2	no	—
251	C₂×C₈	—	2	2	no	—
252	C₂×C₈	—	2	2	no	—
253	C₂×C₈	—	2	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	1	no	—
255	C₂×C₈	—	4	1	no	—
256	C₂×C₈	—	4	1	no	—
257	C₂×C₈	—	4	1	no	—
258	C₂×C₈	—	4	2	no	—
259	C₂×C₈	—	4	4	no	—
260	C₂×C₈	—	4	4	no	—
261	C₂×C₈	—	4	4	no	—
262	C₂×C₈	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
268	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
272	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
275	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
279	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
280	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	4	no	—
288	C₄²	—	4	1	no	—
289	C₄²	—	4	4	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	—	4	4	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	4	2	no	—
294	C₂³	—	4	4	no	—
295	C₂³	—	4	1	no	—
296	C₂³	—	4	1	no	—
297	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	#546	1	2	yes	—
301	C₂³	#556	1	2	yes	—
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	Q₈	—	4	2	no	—
304	Q₈	—	16	8	no	—
305	D₄	—	2	4	no	—
306	D₄	—	4	4	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	8	no	—
314	C₂×C₄	—	4	1	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	1	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	8	no	—
323	C₂×C₄	—	8	8	no	—
324	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂×#124	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#555	1	2	yes	—
342	C₈	—	2	4	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	—	4	2	no	—
345	C₈	—	8	4	no	—
346	C₈	#393	1	2	yes	—
347	C₈	#393	1	2	yes	—
348	C₈	#393	1	4	yes	—
349	C₂²	—	2	2	no	—
350	C₂²	—	2	4	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	1	no	—
353	C₂²	—	4	1	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	8	2	no	—
357	C₂²	—	8	2	no	—
358	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	#2439	1	2	yes	—
360	C₂²	#2492	1	2	yes	—
361	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	4	no	—
366	C₄	—	8	8	no	—
367	C₄	C₂×#393	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#2440	1	2	yes	—
370	C₄	#2491	1	2	yes	—
371	C₄	#2563	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	2	no	—
377	C₂	—	8	2	no	—
378	C₂	#15125	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#24287	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2408
prime radical	C₂²×#41	C₂³
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60660	C₂	semidirect
5. #11391	C₂	semidirect
6. #11294	C₂	semidirect
8. #10867	C₂	semidirect
9. #10859	C₂	semidirect
42. C₂×#131	Q₈	semidirect
80. #408	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60660	2
#23461	2
#20678	2
#20383	2
#11391	2
#11294	2
#11111	2
#10867	2
#10859	2