Subgroups — #412124

Order 512.

2388 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2054	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×#1957	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#14713	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11022	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10841	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂³×D₈	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#493	—	2	4	no	—
11	C₂×#493	—	2	8	no	—
12	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#390	—	2	4	no	—
17	C₂×#390	—	2	4	no	—
18	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2054	—	2	16	no	—
23	#1957	—	2	8	no	—
24	C₄×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
28	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
29	C₂²×D₈	—	2	16	no	—
30	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
31	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
32	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
33	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
34	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂³×C₈	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#127	—	2	4	no	—
37	C₂×#127	—	2	4	no	—
38	C₂×#127	—	2	4	no	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	—	2	4	no	—
41	C₂×#127	D₄	1	8	yes	—
42	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
43	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
45	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
46	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
47	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#493	—	2	32	no	—
53	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	8	yes	complemented
56	C₂×#102	—	2	16	no	—
57	C₂×#102	—	2	16	no	—
58	C₂×#102	—	4	8	no	—
59	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
63	#390	—	2	16	no	—
64	#390	—	4	8	no	—
65	#390	—	4	16	no	—
66	#390	—	4	16	no	—
67	#384	—	2	4	no	—
68	#384	—	2	4	no	—
69	C₄³	—	2	2	no	—
70	C₄³	—	2	2	no	—
71	#340	—	2	8	no	—
72	#336	—	2	4	no	—
73	C₂⁵	—	2	4	no	—
74	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
77	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
78	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
85	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
86	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
87	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
88	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
89	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
90	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
97	C₂×D₈	—	2	32	no	—
98	C₂×D₈	—	4	32	no	—
99	C₂×D₈	—	4	32	no	—
100	C₂×D₈	—	4	16	no	—
101	C₂×D₈	—	4	16	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
112	#127	—	2	16	no	—
113	#127	—	2	16	no	—
114	#127	—	4	8	no	—
115	#127	—	4	8	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
123	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
124	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
125	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
126	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
127	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
129	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	D₈	1	8	yes	complemented
141	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
146	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
147	#102	—	4	32	no	—
148	C₄×C₈	—	2	8	no	—
149	C₄×C₈	—	4	4	no	—
150	C₂⁴	—	2	8	no	—
151	C₂⁴	—	4	4	no	—
152	C₂⁴	—	4	4	no	—
153	C₂⁴	—	4	4	no	—
154	C₂⁴	—	4	4	no	—
155	C₂⁴	—	4	4	no	—
156	C₂⁴	—	4	4	no	—
157	C₂⁴	—	4	8	no	—
158	C₂⁴	—	4	8	no	—
159	C₂⁴	—	4	8	no	—
160	C₂⁴	—	4	8	no	—
161	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×D₄	—	2	8	no	—
163	C₂×D₄	—	2	8	no	—
164	C₂×D₄	—	2	16	no	—
165	C₂×D₄	—	2	16	no	—
166	C₂×D₄	—	4	8	no	—
167	C₂×D₄	—	4	4	no	—
168	C₂×D₄	—	4	4	no	—
169	C₂×D₄	—	4	8	no	—
170	C₂×D₄	—	4	8	no	—
171	C₂×D₄	—	4	8	no	—
172	C₂×D₄	—	4	8	no	—
173	C₂×D₄	—	4	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	8	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	8	no	—
177	C₂×D₄	—	4	8	no	—
178	C₂×D₄	—	4	32	no	—
179	C₂×D₄	—	4	32	no	—
180	C₂×D₄	—	4	32	no	—
181	C₂×D₄	—	8	16	no	—
182	C₂×D₄	—	8	16	no	—
183	C₂×D₄	—	8	16	no	—
184	C₂×D₄	—	8	16	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
200	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
201	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
216	D₈	—	4	64	no	—
217	C₂×C₈	—	2	4	no	—
218	C₂×C₈	—	2	4	no	—
219	C₂×C₈	—	2	8	no	—
220	C₂×C₈	—	2	8	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	2	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
227	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
228	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
229	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
233	C₄²	—	2	4	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	2	16	no	—
236	C₄²	—	4	2	no	—
237	C₄²	—	4	2	no	—
238	C₄²	—	4	8	no	—
239	C₄²	#120	1	4	yes	—
240	C₄²	#123	1	8	yes	—
241	C₄²	#124	1	4	yes	—
242	C₂³	—	4	8	no	—
243	C₂³	—	4	16	no	—
244	C₂³	—	4	16	no	—
245	C₂³	—	4	8	no	—
246	C₂³	—	4	8	no	—
247	C₂³	—	8	4	no	—
248	C₂³	—	8	4	no	—
249	C₂³	—	8	4	no	—
250	C₂³	—	8	4	no	—
251	C₂³	—	8	4	no	—
252	C₂³	—	8	4	no	—
253	C₂³	—	8	8	no	—
254	C₂³	—	8	8	no	—
255	C₂³	—	8	8	no	—
256	C₂³	—	8	8	no	—
257	C₂³	—	8	8	no	—
258	C₂³	—	8	8	no	—
259	C₂³	—	8	8	no	—
260	C₂³	—	8	8	no	—
261	C₂³	—	8	8	no	—
262	C₂³	—	8	8	no	—
263	C₂³	—	8	4	no	—
264	C₂³	—	8	4	no	—
265	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	#535	1	2	yes	—
270	C₂³	C₂²×D₈	1	2	yes	—
271	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
272	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
273	D₄	—	4	16	no	—
274	D₄	—	4	16	no	—
275	D₄	—	8	64	no	—
276	D₄	—	8	8	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	4	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	8	no	—
285	C₂×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	2	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	8	no	—
294	C₂×C₄	—	8	8	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
297	C₂×C₄	#459	1	16	yes	—
298	C₂×C₄	#463	1	16	yes	—
299	C₂×C₄	#466	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	#469	1	8	yes	—
301	C₂×C₄	#493	1	4	yes	complemented
302	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
313	C₈	—	2	8	no	—
314	C₈	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	8	8	no	—
316	C₂²	—	8	8	no	—
317	C₂²	—	8	8	no	—
318	C₂²	—	8	16	no	—
319	C₂²	—	8	16	no	—
320	C₂²	—	16	4	no	—
321	C₂²	—	16	4	no	—
322	C₂²	—	16	8	no	—
323	C₂²	—	16	4	no	—
324	C₂²	—	16	4	no	—
325	C₂²	—	16	8	no	—
326	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
327	C₂²	#2541	1	2	yes	—
328	C₂²	#2544	1	2	yes	—
329	C₂²	#2619	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂×#459	1	4	yes	—
332	C₂²	C₂×#463	1	4	yes	—
333	C₂²	C₂×#466	1	2	yes	—
334	C₂²	C₂×#469	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#3151	1	2	yes	—
338	C₂²	#3169	1	2	yes	—
339	C₂²	#3184	1	2	yes	—
340	C₂²	#3205	1	4	yes	—
341	C₂²	#3207	1	4	yes	—
342	C₄	—	2	4	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	—	16	4	no	—
346	C₄	#2054	1	16	yes	complemented
347	C₄	#2408	1	2	yes	—
348	C₄	#2445	1	4	yes	—
349	C₄	#2548	1	2	yes	—
350	C₂	—	16	8	no	—
351	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
352	C₂	C₂×#2054	1	2	yes	—
353	C₂	#28437	1	2	yes	—
354	C₂	#28443	1	2	yes	—
355	C₂	#28615	1	4	yes	—
356	C₂	#29806	1	2	yes	—
357	C₂	#33171	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#33175	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄³ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2054	C₂	semidirect
3. C₂×#1957	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
5. #14713	C₂	semidirect
6. #11022	C₂	semidirect
7. #10841	C₂	semidirect
55. C₂×C₄⋊C₈	D₄	semidirect
140. C₂×C₄²	D₈	semidirect
301. C₂×C₄	#493	semidirect
346. C₄	#2054	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#2054	2
C₂×#1957	2
C₂×C₄×C₄⋊C₈	2
#14713	2
#11022	2
#10841	2