Subgroups — #412136

Order 512.

1556 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 343 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2050	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#21218	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1963	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20429	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11039	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₄⋊#338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#575	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	#3153	—	2	4	no	—
11	#3152	—	2	2	no	—
12	#3151	—	2	2	no	—
13	#3150	—	2	2	no	—
14	#3147	—	2	2	no	—
15	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#413	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2050	—	2	16	no	—
24	#1967	—	2	4	no	—
25	#1966	—	2	2	no	—
26	#1965	—	2	2	no	—
27	#1963	—	2	8	no	—
28	#1768	—	2	2	no	—
29	#1768	—	2	2	no	—
30	C₂×#338	C₂²	1	4	yes	—
31	#1728	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
33	#575	—	2	8	no	—
34	#575	—	2	8	no	—
35	#575	—	4	8	no	—
36	C₂×#137	—	2	8	no	—
37	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
38	C₂×#135	—	2	8	no	—
39	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
42	#532	—	2	2	no	—
43	#532	—	2	2	no	—
44	#532	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	4	no	—
47	#532	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
51	C₂×#121	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#497	—	2	8	no	—
57	#496	—	2	8	no	—
58	#495	—	2	8	no	—
59	#494	—	2	2	no	—
60	#493	—	2	2	no	—
61	#492	—	2	4	no	—
62	#423	—	2	4	no	—
63	#423	—	2	4	no	—
64	#423	—	2	2	no	—
65	#423	—	2	2	no	—
66	#423	D₄	1	8	yes	complemented
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
69	C₂×#104	—	2	16	no	—
70	C₂×#104	—	2	8	no	—
71	C₂×#104	—	2	8	no	—
72	C₂×#104	—	4	8	no	—
73	#413	—	2	16	no	—
74	#413	—	4	8	no	—
75	C₂×#101	—	2	8	no	—
76	C₂×#100	—	2	8	no	—
77	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
78	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
79	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
80	C₄×M₁₆	—	2	2	no	—
81	C₂×#97	—	2	1	no	—
82	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
85	#376	—	2	1	no	—
86	#376	—	2	1	no	—
87	#376	D₄	1	4	yes	—
88	C₂×#95	—	2	2	no	—
89	#338	—	2	8	no	—
90	#336	—	2	4	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	4	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	8	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	8	no	—
99	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
104	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
105	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
106	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	#137	—	4	16	no	—
109	#137	—	4	16	no	—
110	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
111	AGL(1,ℤ/8)	—	4	16	no	—
112	#135	—	4	16	no	—
113	#135	—	4	16	no	—
114	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
115	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
116	C₂×D₈	—	2	8	no	—
117	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
118	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
119	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
120	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
121	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
126	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
128	C₂×M₁₆	#41	1	4	yes	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	#127	—	2	2	no	—
136	#127	—	2	2	no	—
137	#127	—	2	4	no	—
138	#124	—	2	4	no	—
139	#124	—	2	4	no	—
140	#124	—	2	8	no	—
141	#121	—	4	4	no	—
142	#121	—	4	4	no	—
143	#121	—	4	4	no	—
144	#121	—	4	4	no	—
145	C₄×D₄	—	4	4	no	—
146	C₄×D₄	—	4	4	no	—
147	C₄×D₄	—	4	4	no	—
148	C₄×D₄	—	4	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
155	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
164	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
165	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
166	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
167	#104	—	4	16	no	—
168	#104	—	4	16	no	—
169	#101	—	4	16	no	—
170	#100	—	4	16	no	—
171	#97	—	2	4	no	—
172	#97	—	4	1	no	—
173	#97	—	4	1	no	—
174	C₄×C₈	—	2	2	no	—
175	C₄×C₈	—	2	2	no	—
176	C₄×C₈	—	4	2	no	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
181	#41	—	4	8	no	—
182	#41	—	4	4	no	—
183	#41	—	4	4	no	—
184	#41	—	4	4	no	—
185	#41	—	4	8	no	—
186	#41	—	4	4	no	—
187	#41	—	4	8	no	—
188	#41	—	4	8	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	8	no	—
198	C₂×D₄	—	2	8	no	—
199	C₂×D₄	—	4	4	no	—
200	C₂×D₄	—	4	4	no	—
201	C₂×D₄	—	4	8	no	—
202	C₂×D₄	—	4	8	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	8	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
215	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
218	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	#123	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
229	Q₁₆	—	4	16	no	—
230	SD₁₆	—	4	32	no	—
231	D₈	—	4	16	no	—
232	M₁₆	—	2	8	no	—
233	M₁₆	—	2	8	no	—
234	M₁₆	—	2	8	no	—
235	M₁₆	—	4	4	no	—
236	M₁₆	—	4	4	no	—
237	M₁₆	—	4	4	no	—
238	M₁₆	—	4	8	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	4	no	—
245	C₂×C₈	—	4	8	no	—
246	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	4	no	—
254	C₄²	—	4	2	no	—
255	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	#120	1	1	yes	characteristic
257	C₄²	#120	1	2	yes	—
258	C₄²	#121	1	4	yes	—
259	C₄²	#121	1	4	yes	—
260	C₄²	#124	1	2	yes	—
261	C₄²	#124	1	2	yes	—
262	C₄²	#127	1	4	yes	—
263	C₂³	—	4	2	no	—
264	C₂³	—	4	4	no	—
265	C₂³	—	4	8	no	—
266	C₂³	—	8	8	no	—
267	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	C₂×#123	1	2	yes	—
269	C₂³	#532	1	2	yes	—
270	C₂³	#540	1	2	yes	—
271	Q₈	—	4	8	no	—
272	Q₈	—	4	4	no	—
273	Q₈	—	4	4	no	—
274	D₄	—	4	8	no	—
275	D₄	—	4	4	no	—
276	D₄	—	4	4	no	—
277	D₄	—	8	8	no	—
278	D₄	—	8	8	no	—
279	D₄	—	8	4	no	—
280	D₄	—	8	4	no	—
281	D₄	—	8	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂×C₄	—	4	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	8	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	8	no	—
297	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
298	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
312	C₈	—	2	8	no	—
313	C₈	—	4	4	no	—
314	C₈	—	8	4	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	4	2	no	—
318	C₂²	—	4	2	no	—
319	C₂²	—	8	4	no	—
320	C₂²	—	8	8	no	—
321	C₂²	—	16	8	no	—
322	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	#2445	1	4	yes	—
324	C₂²	#2619	1	1	yes	characteristic
325	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	4	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	—	8	2	no	—
331	C₄	—	8	4	no	—
332	C₄	#2408	1	2	yes	—
333	C₄	#2541	1	2	yes	—
334	C₄	#2544	1	2	yes	—
335	C₄	#2548	1	2	yes	—
336	C₂	—	2	1	no	—
337	C₂	—	2	1	no	—
338	C₂	—	2	4	no	—
339	C₂	—	16	4	no	—
340	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
341	C₂	#23527	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂×#124
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	C₂×#394
prime radical	#60639	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2050	C₂	semidirect
3. #21218	C₂	semidirect
4. C₂×#1963	C₂	semidirect
5. #20429	C₂	semidirect
6. #11039	C₂	semidirect
7. C₄⋊#338	C₂	semidirect
66. #423	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60639	2
C₂×#2050	2
#21218	2
C₂×#1963	2
#20429	2
#11039	2
C₄⋊#338	2