Subgroups — #412151

Order 512.

1876 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 395 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2045	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23505	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1978	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11027	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10981	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×D₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#493	—	2	2	no	—
14	C₂×#493	—	2	2	no	—
15	C₂×#493	—	2	8	no	—
16	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#418	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂²×#100	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2045	—	2	8	no	—
27	#2041	—	2	8	no	—
28	#1978	—	2	8	no	—
29	#1978	—	2	8	no	—
30	#1771	—	2	2	no	—
31	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1728	C₂²	1	2	yes	—
35	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
37	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
39	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
40	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
41	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
42	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
43	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
44	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
46	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
47	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
48	C₂²×D₈	—	2	4	no	—
49	C₂²×D₈	—	4	4	no	—
50	C₂²×D₈	D₄	1	8	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
52	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×#127	—	2	8	no	—
57	C₂×#127	—	2	4	no	—
58	C₂×#127	—	2	4	no	—
59	C₂×#127	—	4	4	no	—
60	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	#493	—	2	16	no	—
64	#493	—	2	16	no	—
65	C₂×#108	—	2	4	no	—
66	C₂×#108	—	2	4	no	—
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	#424	—	2	2	no	—
69	#424	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
71	#418	—	2	8	no	—
72	#418	—	2	8	no	—
73	#418	—	2	8	no	—
74	#418	—	4	4	no	—
75	C₂×#102	—	2	8	no	—
76	C₂×#102	—	2	8	no	—
77	C₂×#100	—	2	8	no	—
78	C₂×#100	—	2	8	no	—
79	C₂×#100	—	2	8	no	—
80	C₂×#100	—	4	4	no	—
81	C₂×#100	—	4	4	no	—
82	C₂×#100	—	4	4	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	#405	—	2	4	no	—
85	#405	D₄	1	4	yes	complemented
86	C₂×#97	—	2	1	no	—
87	C₂×#97	—	2	1	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
89	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
90	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
91	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
93	#389	D₄	1	4	yes	—
94	#385	—	2	2	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
96	#341	—	2	4	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	#336	—	2	2	no	—
99	#336	—	2	4	no	—
100	C₂⁵	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
108	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
114	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	8	16	no	—
117	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
118	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
120	C₂×D₈	—	2	16	no	—
121	C₂×D₈	—	2	8	no	—
122	C₂×D₈	—	2	8	no	—
123	C₂×D₈	—	2	16	no	—
124	C₂×D₈	—	2	16	no	—
125	C₂×D₈	—	4	16	no	—
126	C₂×D₈	—	4	16	no	—
127	C₂×D₈	—	4	8	no	—
128	C₂×D₈	—	4	8	no	—
129	C₂×D₈	—	4	4	no	—
130	C₂×D₈	—	4	4	no	—
131	C₂×D₈	—	4	8	no	—
132	C₂×D₈	—	4	8	no	—
133	C₂×D₈	—	4	4	no	—
134	C₂×D₈	—	4	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
150	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
151	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
162	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
163	#127	—	2	16	no	—
164	#127	—	4	16	no	—
165	#127	—	4	8	no	—
166	#117	—	2	1	no	—
167	#117	—	2	1	no	—
168	#117	—	2	2	no	—
169	#117	—	2	2	no	—
170	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
179	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
180	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	#108	—	4	8	no	—
184	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
185	#102	—	4	16	no	—
186	#102	—	4	16	no	—
187	#100	—	4	16	no	—
188	#100	—	4	16	no	—
189	#97	—	2	4	no	—
190	#97	—	4	2	no	—
191	C₄×C₈	—	2	4	no	—
192	C₄×C₈	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	C₄×C₈	—	4	2	no	—
195	#95	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	8	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	—	4	4	no	—
200	C₂⁴	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	—	4	4	no	—
202	C₂⁴	—	4	4	no	—
203	C₂⁴	—	8	16	no	—
204	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	2	8	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	8	no	—
209	C₂×D₄	—	2	8	no	—
210	C₂×D₄	—	2	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	32	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	4	4	no	—
216	C₂×D₄	—	4	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	4	4	no	—
221	C₂×D₄	—	4	4	no	—
222	C₂×D₄	—	4	4	no	—
223	C₂×D₄	—	4	4	no	—
224	C₂×D₄	—	4	4	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	4	no	—
227	C₂×D₄	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	4	no	—
230	C₂×D₄	—	4	4	no	—
231	C₂×D₄	—	4	4	no	—
232	C₂×D₄	—	4	4	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	—	8	64	no	—
235	C₂×D₄	—	8	16	no	—
236	C₂×D₄	—	8	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
252	D₈	—	4	32	no	—
253	D₈	—	4	16	no	—
254	D₈	—	4	16	no	—
255	M₁₆	—	2	4	no	—
256	M₁₆	—	2	4	no	—
257	M₁₆	—	4	2	no	—
258	M₁₆	—	4	2	no	—
259	M₁₆	—	4	4	no	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	4	no	—
263	C₂×C₈	—	2	2	no	—
264	C₂×C₈	—	2	2	no	—
265	C₂×C₈	—	2	4	no	—
266	C₂×C₈	—	2	4	no	—
267	C₂×C₈	—	2	2	no	—
268	C₂×C₈	—	2	2	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	4	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	4	no	—
274	C₂×C₈	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	4	4	no	—
276	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
277	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
279	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
282	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
283	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
288	C₄⋊C₄	#127	1	4	yes	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	4	1	no	—
298	C₄²	—	4	1	no	—
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	4	8	no	—
301	C₂³	—	4	8	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	8	16	no	—
304	C₂³	—	8	16	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	—	8	4	no	—
308	C₂³	—	8	4	no	—
309	C₂³	—	8	16	no	—
310	C₂³	—	16	8	no	—
311	C₂³	—	16	8	no	—
312	C₂³	—	16	8	no	—
313	C₂³	—	16	8	no	—
314	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
315	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
317	C₂³	#546	1	2	yes	—
318	C₂³	#559	1	2	yes	—
319	D₄	—	4	8	no	—
320	D₄	—	4	8	no	—
321	D₄	—	4	8	no	—
322	D₄	—	4	8	no	—
323	D₄	—	8	64	no	—
324	D₄	—	8	4	no	—
325	D₄	—	8	4	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	2	16	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	4	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	#472	1	8	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
354	C₈	—	2	4	no	—
355	C₈	—	4	2	no	—
356	C₈	—	4	2	no	—
357	C₈	—	8	4	no	—
358	C₈	#394	1	4	yes	—
359	C₈	#394	1	4	yes	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	2	4	no	—
364	C₂²	—	8	8	no	—
365	C₂²	—	8	16	no	—
366	C₂²	—	16	8	no	—
367	C₂²	—	16	8	no	—
368	C₂²	—	16	8	no	—
369	C₂²	—	16	8	no	—
370	C₂²	—	16	8	no	—
371	C₂²	—	16	8	no	—
372	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
373	C₂²	#2445	1	2	yes	—
374	C₂²	#2544	1	2	yes	—
375	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	C₂×#472	1	4	yes	—
378	C₄	—	2	8	no	—
379	C₄	—	4	4	no	—
380	C₄	—	8	2	no	—
381	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
382	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#2445	1	2	yes	—
384	C₄	#2541	1	2	yes	—
385	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
387	C₂	—	2	2	no	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	16	8	no	—
390	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#24281	1	2	yes	—
392	C₂	#28763	1	2	yes	—
393	C₂	#33190	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2045	C₂	semidirect
3. #23505	C₂	semidirect
4. C₂×#1978	C₂	semidirect
5. C₂×#1978	C₂	semidirect
6. #20435	C₂	semidirect
7. #11027	C₂	semidirect
8. #10981	C₂	semidirect
9. #10864	C₂	semidirect
69. #424	D₄	semidirect
85. #405	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂×#2045	2
#23505	2
C₂×#1978	2
#20435	2
#11027	2
#10981	2
#10864	2