Subgroups — #412159

Order 512.

1684 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 403 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2056	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1969	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×#1969	C₂	1	2	yes	maximal
5	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#15180	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11024	C₂	1	2	yes	maximal
8	#11010	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂³×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#494	—	2	4	no	—
14	C₂×#494	—	2	8	no	—
15	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂²×#103	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#2056	—	2	8	no	—
26	#1969	—	2	8	no	—
27	#1969	—	2	8	no	—
28	C₈×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
29	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#1442	—	2	4	no	—
33	#1441	—	2	4	no	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
36	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
37	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
38	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
39	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
40	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
41	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
42	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
44	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
45	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
46	C₂²×Q₁₆	—	4	4	no	—
47	C₂²×Q₁₆	D₄	1	8	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
53	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#494	—	2	32	no	—
63	C₂×#107	—	2	4	no	—
64	C₂×#107	—	2	4	no	—
65	C₂×#107	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
69	C₂×#103	—	2	8	no	—
70	C₂×#103	—	2	8	no	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#103	—	4	4	no	—
73	C₂×#103	—	4	4	no	—
74	C₂×#103	—	4	4	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
76	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
77	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
78	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
79	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
80	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
81	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
82	#391	—	2	8	no	—
83	#391	—	2	8	no	—
84	#391	—	2	8	no	—
85	#391	—	4	4	no	—
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
88	C₂×#95	—	2	4	no	—
89	C₂×#95	—	2	4	no	—
90	C₂×#95	—	2	8	no	—
91	C₂×#95	—	2	4	no	—
92	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
93	#340	—	2	4	no	—
94	#336	—	2	2	no	—
95	#336	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
99	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
110	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
118	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
121	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
122	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
123	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
124	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
125	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
126	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
127	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
128	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
135	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
136	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
140	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
149	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
150	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
151	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	1	8	yes	complemented
163	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
177	#107	—	4	8	no	—
178	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
179	#103	—	4	16	no	—
180	#103	—	4	16	no	—
181	C₄×C₈	—	2	8	no	—
182	C₄×C₈	—	2	8	no	—
183	C₄×C₈	—	4	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	4	16	no	—
186	#95	—	4	8	no	—
187	#95	—	4	8	no	—
188	#95	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
190	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
191	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
192	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
193	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
194	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
195	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
196	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
197	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
198	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
213	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
242	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	Q₁₆	—	4	32	no	—
260	Q₁₆	—	4	32	no	—
261	C₂×C₈	—	2	2	no	—
262	C₂×C₈	—	2	2	no	—
263	C₂×C₈	—	2	4	no	—
264	C₂×C₈	—	2	4	no	—
265	C₂×C₈	—	2	2	no	—
266	C₂×C₈	—	2	2	no	—
267	C₂×C₈	—	2	4	no	—
268	C₂×C₈	—	2	4	no	—
269	C₂×C₈	—	4	1	no	—
270	C₂×C₈	—	4	1	no	—
271	C₂×C₈	—	4	1	no	—
272	C₂×C₈	—	4	1	no	—
273	C₂×C₈	—	4	2	no	—
274	C₂×C₈	—	4	2	no	—
275	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
276	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
277	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
278	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
279	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
280	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
281	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
282	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
283	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	2	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	2	no	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	4	no	—
294	C₄²	—	4	1	no	—
295	C₄²	—	4	1	no	—
296	C₄²	—	4	2	no	—
297	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
298	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
301	C₂³	#550	1	2	yes	—
302	C₂³	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
303	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
304	C₂³	#578	1	4	yes	—
305	Q₈	—	4	8	no	—
306	Q₈	—	4	8	no	—
307	Q₈	—	4	8	no	—
308	Q₈	—	4	8	no	—
309	Q₈	—	8	4	no	—
310	Q₈	—	8	4	no	—
311	Q₈	—	8	4	no	—
312	Q₈	—	8	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	4	no	—
317	C₂×C₄	—	2	8	no	—
318	C₂×C₄	—	2	8	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	8	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	—	4	8	no	—
332	C₂×C₄	—	4	8	no	—
333	C₂×C₄	—	8	4	no	—
334	C₂×C₄	—	8	4	no	—
335	C₂×C₄	—	8	4	no	—
336	C₂×C₄	—	8	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	8	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	#467	1	8	yes	—
343	C₂×C₄	#494	1	4	yes	complemented
344	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	4	2	no	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	#394	1	8	yes	—
366	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#2445	1	2	yes	—
368	C₂²	#2541	1	2	yes	—
369	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
370	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
371	C₂²	C₂×#467	1	2	yes	—
372	C₂²	#3059	1	2	yes	—
373	C₂²	C₂×#494	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#3147	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	#3156	1	2	yes	—
376	C₂²	#3170	1	2	yes	—
377	C₂²	#3177	1	2	yes	—
378	C₂²	#3285	1	4	yes	—
379	C₂²	D₄×Q₁₆	1	4	yes	—
380	C₂²	#3393	1	4	yes	—
381	C₂²	#3395	1	4	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	8	no	—
384	C₄	—	4	2	no	—
385	C₄	—	4	4	no	—
386	C₄	—	8	8	no	—
387	C₄	—	16	4	no	—
388	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
389	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
390	C₄	#2445	1	2	yes	—
391	C₄	#2544	1	2	yes	—
392	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
394	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#24268	1	2	yes	—
396	C₂	#26255	1	4	yes	—
397	C₂	#28462	1	2	yes	—
398	C₂	#28466	1	2	yes	—
399	C₂	#28737	1	2	yes	—
400	C₂	#33172	1	1	yes	characteristic
401	C₂	#33180	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
162. C₂×C₄⋊C₄	Q₁₆	semidirect
343. C₂×C₄	#494	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#494	2
C₂×#2056	2
C₂×#1969	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#15180	2
#11024	2
#11010	2
#10862	2