Subgroups — #412169

Order 512.

1542 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 462 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23498	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#21248	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1974	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20437	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11040	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#10996	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#575	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
12	#3449	C₂²	1	2	yes	—
13	#3156	—	2	2	no	—
14	#3155	—	2	2	no	—
15	#3154	—	2	4	no	—
16	#3150	—	2	2	no	—
17	#3147	—	2	2	no	—
18	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
21	#2896	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#413	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#408	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#2285	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2050	—	2	8	no	—
29	#2040	—	2	4	no	—
30	#2039	—	2	4	no	—
31	#1979	—	2	2	no	—
32	#1978	—	2	2	no	—
33	#1977	—	2	4	no	—
34	#1974	—	2	8	no	—
35	#1770	—	2	2	no	—
36	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
37	#1742	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
39	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
42	#575	—	2	4	no	—
43	#575	—	2	4	no	—
44	#575	—	4	4	no	—
45	C₂×#137	—	2	4	no	—
46	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
47	C₂×#135	—	2	2	no	—
48	C₂×#135	—	2	4	no	—
49	C₂×#135	—	2	2	no	—
50	C₂×#135	—	2	2	no	—
51	C₂×#135	—	2	2	no	—
52	C₂×#135	—	2	4	no	—
53	C₂×#135	—	2	4	no	—
54	C₂×#135	—	2	4	no	—
55	C₂×#135	—	2	4	no	—
56	C₂²×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
58	C₂²×D₈	D₄	1	2	yes	—
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#537	—	2	4	no	—
65	#536	—	2	4	no	—
66	#535	—	2	4	no	—
67	#534	—	2	4	no	—
68	#532	—	2	4	no	—
69	#525	—	4	4	no	—
70	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#497	—	2	8	no	—
74	#496	—	2	8	no	—
75	#495	—	2	4	no	—
76	#495	—	2	4	no	—
77	#494	—	2	2	no	—
78	#493	—	2	2	no	—
79	#492	—	2	4	no	—
80	C₂×#108	—	2	4	no	—
81	C₂×#108	—	2	2	no	—
82	C₂×#108	—	2	2	no	—
83	C₂×#108	—	2	4	no	—
84	#423	—	2	2	no	—
85	#423	D₄	1	4	yes	complemented
86	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
87	C₂×#104	—	2	8	no	—
88	C₂×#104	—	2	8	no	—
89	C₂×#104	—	2	4	no	—
90	C₂×#104	—	2	4	no	—
91	#419	—	2	4	no	—
92	#418	—	2	4	no	—
93	#417	—	2	8	no	—
94	#416	—	4	4	no	—
95	#413	—	2	8	no	—
96	#413	—	4	4	no	—
97	C₂×#101	—	2	4	no	—
98	C₂×#100	—	2	4	no	—
99	#408	—	2	8	no	—
100	#408	—	4	4	no	—
101	C₂×C₂²⋊C₈	—	4	4	no	—
102	#405	—	2	2	no	—
103	#405	—	2	2	no	—
104	#405	—	2	2	no	—
105	#405	—	2	2	no	—
106	C₂×#97	—	2	1	no	—
107	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
112	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	complemented
114	#384	D₄	1	2	yes	—
115	#382	D₄	1	2	yes	—
116	#380	—	2	2	no	—
117	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
118	#343	—	2	4	no	—
119	#338	—	2	4	no	—
120	#336	—	2	2	no	—
121	#336	—	2	2	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂×#41	—	2	4	no	—
127	C₂×#41	—	2	4	no	—
128	C₂×#41	—	2	4	no	—
129	C₂×#41	—	2	4	no	—
130	C₂×#41	—	2	4	no	—
131	C₂×#41	—	2	4	no	—
132	C₂×#41	—	2	4	no	—
133	C₂×#41	—	2	4	no	—
134	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
136	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
137	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
139	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
140	#137	—	4	8	no	—
141	#137	—	4	8	no	—
142	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
143	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
144	#135	—	4	8	no	—
145	#135	—	4	4	no	—
146	#135	—	4	4	no	—
147	#135	—	4	4	no	—
148	#135	—	4	4	no	—
149	#135	—	4	8	no	—
150	#135	—	4	4	no	—
151	#135	—	4	4	no	—
152	#135	—	4	4	no	—
153	#135	—	4	4	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
156	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
157	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
161	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
162	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
163	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
164	C₂×D₈	—	2	4	no	—
165	C₂×D₈	—	2	2	no	—
166	C₂×D₈	—	2	2	no	—
167	C₂×D₈	—	2	4	no	—
168	C₂×D₈	—	2	4	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
172	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
174	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
175	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
176	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
177	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
178	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
179	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
180	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
183	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
184	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
193	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
197	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
198	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
199	#127	—	2	4	no	—
200	#124	—	2	8	no	—
201	#123	—	4	8	no	—
202	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
203	#121	—	4	8	no	—
204	#121	—	4	8	no	—
205	#120	—	4	8	no	—
206	C₄×D₄	—	4	8	no	—
207	#117	—	2	2	no	—
208	#117	—	2	2	no	—
209	#117	—	2	2	no	—
210	#117	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
220	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	#108	—	4	4	no	—
226	#108	—	4	4	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
228	#104	—	4	8	no	—
229	#104	—	4	8	no	—
230	#103	—	4	8	no	—
231	#102	—	4	8	no	—
232	#101	—	4	8	no	—
233	#100	—	4	8	no	—
234	C₂²⋊C₈	—	4	16	no	—
235	#97	—	2	4	no	—
236	#97	—	4	2	no	—
237	C₄×C₈	—	2	2	no	—
238	C₄×C₈	—	2	2	no	—
239	C₄×C₈	—	2	4	no	—
240	C₄×C₈	—	2	4	no	—
241	C₄×C₈	—	4	1	no	—
242	C₄×C₈	—	4	1	no	—
243	#95	—	2	4	no	—
244	C₂⁴	—	2	4	no	—
245	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
246	#41	—	4	4	no	—
247	#41	—	4	4	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	4	4	no	—
251	#41	—	4	4	no	—
252	#41	—	4	4	no	—
253	#41	—	4	4	no	—
254	#41	—	4	4	no	—
255	#41	—	4	4	no	—
256	#41	—	4	4	no	—
257	#41	—	4	4	no	—
258	#41	—	4	4	no	—
259	#41	—	4	4	no	—
260	#41	—	4	4	no	—
261	#41	—	4	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	4	no	—
270	C₂×D₄	—	2	4	no	—
271	C₂×D₄	—	2	4	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	2	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	8	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂×D₄	—	4	4	no	—
277	C₂×D₄	—	4	4	no	—
278	C₂×D₄	—	4	4	no	—
279	C₂×D₄	—	4	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
303	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
305	Q₁₆	—	4	8	no	—
306	Q₁₆	—	4	4	no	—
307	Q₁₆	—	4	4	no	—
308	SD₁₆	—	4	16	no	—
309	SD₁₆	—	4	8	no	—
310	SD₁₆	—	4	8	no	—
311	D₈	—	4	8	no	—
312	D₈	—	4	4	no	—
313	D₈	—	4	4	no	—
314	M₁₆	—	2	4	no	—
315	M₁₆	—	2	4	no	—
316	M₁₆	—	2	4	no	—
317	M₁₆	—	4	2	no	—
318	M₁₆	—	4	4	no	—
319	M₁₆	—	4	4	no	—
320	M₁₆	—	4	4	no	—
321	M₁₆	—	4	4	no	—
322	C₂×C₈	—	2	2	no	—
323	C₂×C₈	—	2	2	no	—
324	C₂×C₈	—	2	2	no	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	2	4	no	—
327	C₂×C₈	—	4	1	no	—
328	C₂×C₈	—	4	1	no	—
329	C₂×C₈	—	4	1	no	—
330	C₂×C₈	—	4	1	no	—
331	C₂×C₈	—	4	2	no	—
332	C₂×C₈	—	4	4	no	—
333	C₂×C₈	—	4	4	no	—
334	C₂×C₈	—	4	4	no	—
335	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
338	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
339	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
340	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
341	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
342	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
343	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
344	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
345	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
346	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
347	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
348	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
349	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
350	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
351	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
352	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
353	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
354	C₄²	—	2	2	no	—
355	C₄²	—	2	2	no	—
356	C₄²	—	2	2	no	—
357	C₄²	—	2	1	no	—
358	C₄²	—	2	1	no	—
359	C₄²	—	2	2	no	—
360	C₄²	—	4	1	no	—
361	C₄²	—	4	1	no	—
362	C₄²	#127	1	2	yes	—
363	C₄²	#127	1	2	yes	—
364	C₂³	—	4	2	no	—
365	C₂³	—	4	4	no	—
366	C₂³	—	4	4	no	—
367	C₂³	—	4	4	no	—
368	C₂³	—	8	8	no	—
369	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
370	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
371	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
372	C₂³	#546	1	2	yes	—
373	C₂³	#559	1	2	yes	—
374	Q₈	—	4	4	no	—
375	Q₈	—	4	4	no	—
376	Q₈	—	4	4	no	—
377	Q₈	—	4	4	no	—
378	D₄	—	4	4	no	—
379	D₄	—	4	4	no	—
380	D₄	—	4	4	no	—
381	D₄	—	4	4	no	—
382	D₄	—	8	4	no	—
383	D₄	—	8	4	no	—
384	D₄	—	8	4	no	—
385	D₄	—	8	4	no	—
386	D₄	—	16	8	no	—
387	C₂×C₄	—	2	4	no	—
388	C₂×C₄	—	2	2	no	—
389	C₂×C₄	—	2	2	no	—
390	C₂×C₄	—	2	4	no	—
391	C₂×C₄	—	4	4	no	—
392	C₂×C₄	—	4	4	no	—
393	C₂×C₄	—	4	2	no	—
394	C₂×C₄	—	4	4	no	—
395	C₂×C₄	—	4	4	no	—
396	C₂×C₄	—	4	2	no	—
397	C₂×C₄	—	4	4	no	—
398	C₂×C₄	—	4	4	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	8	4	no	—
401	C₂×C₄	—	8	4	no	—
402	C₂×C₄	—	8	4	no	—
403	C₂×C₄	—	8	4	no	—
404	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
410	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
412	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
413	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
415	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
416	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
417	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
418	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
419	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
420	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
421	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
422	C₈	—	2	4	no	—
423	C₈	—	4	2	no	—
424	C₈	—	4	2	no	—
425	C₈	—	8	4	no	—
426	C₈	#394	1	2	yes	—
427	C₈	#394	1	4	yes	—
428	C₈	#394	1	2	yes	—
429	C₂²	—	2	2	no	—
430	C₂²	—	2	4	no	—
431	C₂²	—	4	1	no	—
432	C₂²	—	4	1	no	—
433	C₂²	—	4	2	no	—
434	C₂²	—	8	8	no	—
435	C₂²	—	8	4	no	—
436	C₂²	—	8	8	no	—
437	C₂²	—	16	4	no	—
438	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
439	C₂²	#2445	1	2	yes	—
440	C₂²	#2544	1	2	yes	—
441	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
442	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
443	C₄	—	2	4	no	—
444	C₄	—	4	2	no	—
445	C₄	—	4	4	no	—
446	C₄	—	8	4	no	—
447	C₄	—	8	2	no	—
448	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
449	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
450	C₄	#2445	1	2	yes	—
451	C₄	#2541	1	2	yes	—
452	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
453	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
454	C₂	—	2	1	no	—
455	C₂	—	2	2	no	—
456	C₂	—	2	2	no	—
457	C₂	—	2	1	no	—
458	C₂	—	16	4	no	—
459	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
460	C₂	#24287	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2408
prime radical	#60643	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2050	C₂	semidirect
3. #23498	C₂	semidirect
4. #21248	C₂	semidirect
5. C₂×#1974	C₂	semidirect
6. #20437	C₂	semidirect
7. #11040	C₂	semidirect
8. #10996	C₂	semidirect
9. #10867	C₂	semidirect
85. #423	D₄	semidirect
113. C₂×C₄×C₈	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60643	2
C₂×#2050	2
#23498	2
#21248	2
C₂×#1974	2
#20437	2
#11040	2
#10996	2
#10867	2