Subgroups — #412172

Order 512.

1560 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 454 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60643	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2053	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#23514	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1976	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#21228	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20436	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#11041	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#11001	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#10866	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#575	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#135	C₂²	1	2	yes	—
12	#3449	C₂²	1	2	yes	—
13	#3156	—	2	2	no	—
14	#3155	—	2	2	no	—
15	#3154	—	2	4	no	—
16	#3150	—	2	2	no	—
17	#3147	—	2	2	no	—
18	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#416	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#2297	C₂²	1	4	yes	—
27	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#2053	—	2	8	no	—
29	#2044	—	2	8	no	—
30	#1976	—	2	8	no	—
31	#1973	—	2	4	no	—
32	#1972	—	2	2	no	—
33	#1971	—	2	2	no	—
34	#1771	—	2	2	no	—
35	#1770	—	2	2	no	—
36	#1740	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
38	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
41	#575	—	2	4	no	—
42	#575	—	2	4	no	—
43	#575	—	4	4	no	—
44	C₂×#137	—	2	4	no	—
45	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	4	no	—
46	C₂×#135	—	2	2	no	—
47	C₂×#135	—	2	4	no	—
48	C₂×#135	—	2	2	no	—
49	C₂×#135	—	2	2	no	—
50	C₂×#135	—	2	2	no	—
51	C₂×#135	—	2	4	no	—
52	C₂×#135	—	2	4	no	—
53	C₂×#135	—	2	4	no	—
54	C₂×#135	—	2	4	no	—
55	C₂²×Q₁₆	D₄	1	2	yes	—
56	C₂²×SD₁₆	D₄	1	4	yes	—
57	C₂²×D₈	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#537	—	2	4	no	—
63	#536	—	2	4	no	—
64	#535	—	2	4	no	—
65	#534	—	2	4	no	—
66	#532	—	2	4	no	—
67	#525	—	4	4	no	—
68	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#497	—	2	8	no	—
73	#496	—	2	8	no	—
74	#495	—	2	4	no	—
75	#495	—	2	4	no	—
76	#494	—	2	2	no	—
77	#493	—	2	2	no	—
78	#492	—	2	4	no	—
79	#427	—	2	4	no	—
80	#427	—	2	4	no	—
81	C₂×#107	—	2	2	no	—
82	C₂×#106	—	2	2	no	—
83	#424	—	2	2	no	—
84	#424	D₄	1	4	yes	complemented
85	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
86	#421	—	2	8	no	—
87	#421	—	4	4	no	—
88	C₂×#104	—	4	4	no	—
89	#416	—	2	8	no	—
90	#416	—	4	4	no	—
91	C₂×#103	—	2	4	no	—
92	C₂×#102	—	2	4	no	—
93	#410	—	2	8	no	—
94	#410	—	2	8	no	—
95	C₂×#99	—	2	8	no	—
96	#405	—	2	2	no	—
97	#405	—	2	2	no	—
98	#405	—	2	2	no	—
99	#405	D₄	1	4	yes	complemented
100	C₂×#97	—	2	1	no	—
101	C₂×#97	—	2	2	no	—
102	C₂×#97	—	2	2	no	—
103	C₂×#97	—	2	1	no	—
104	C₂×#97	—	2	1	no	—
105	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
108	#391	—	2	4	no	—
109	#390	—	2	4	no	—
110	#389	—	2	2	no	—
111	#386	—	2	8	no	—
112	#385	D₄	1	4	yes	—
113	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
114	C₄×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
115	#342	—	2	4	no	—
116	H(3,ℤ/4)	—	2	4	no	—
117	#336	—	2	2	no	—
118	#336	—	2	2	no	—
119	C₂×#41	—	2	4	no	—
120	C₂×#41	—	2	4	no	—
121	C₂×#41	—	2	4	no	—
122	C₂×#41	—	2	4	no	—
123	C₂×#41	—	2	4	no	—
124	C₂×#41	—	2	4	no	—
125	C₂×#41	—	2	4	no	—
126	C₂×#41	—	2	4	no	—
127	C₂×#41	—	2	4	no	—
128	C₂×#41	—	2	4	no	—
129	C₂×#41	—	2	4	no	—
130	C₂×#41	—	2	4	no	—
131	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
132	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
133	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
137	#137	—	4	8	no	—
138	#137	—	4	8	no	—
139	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
140	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
141	#135	—	4	8	no	—
142	#135	—	4	4	no	—
143	#135	—	4	4	no	—
144	#135	—	4	4	no	—
145	#135	—	4	4	no	—
146	#135	—	4	8	no	—
147	#135	—	4	4	no	—
148	#135	—	4	4	no	—
149	#135	—	4	4	no	—
150	#135	—	4	4	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
157	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
161	C₂×D₈	—	2	4	no	—
162	C₂×D₈	—	2	2	no	—
163	C₂×D₈	—	2	2	no	—
164	C₂×D₈	—	2	4	no	—
165	C₂×D₈	—	2	4	no	—
166	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
167	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
168	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
169	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
170	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
171	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×M₁₆	#41	1	2	yes	—
174	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
178	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
181	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
187	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
188	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
189	#127	—	2	4	no	—
190	#124	—	2	8	no	—
191	#123	—	4	8	no	—
192	C₂²⋊Q₈	—	4	8	no	—
193	#121	—	4	8	no	—
194	#121	—	4	8	no	—
195	#120	—	4	8	no	—
196	C₄×D₄	—	4	8	no	—
197	#117	—	2	2	no	—
198	#117	—	2	1	no	—
199	#117	—	2	1	no	—
200	#117	—	2	2	no	—
201	#117	—	2	4	no	—
202	#117	—	2	4	no	—
203	#117	—	2	4	no	—
204	#117	—	2	4	no	—
205	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	#117	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
211	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
219	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
221	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
222	#107	—	4	4	no	—
223	#106	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
225	#104	—	4	16	no	—
226	#103	—	4	8	no	—
227	#102	—	4	8	no	—
228	#99	—	4	16	no	—
229	#97	—	2	4	no	—
230	#97	—	2	4	no	—
231	#97	—	4	1	no	—
232	#97	—	4	1	no	—
233	#97	—	4	2	no	—
234	C₄×C₈	—	2	2	no	—
235	C₄×C₈	—	2	2	no	—
236	C₄×C₈	—	2	4	no	—
237	#95	—	2	4	no	—
238	#95	—	4	8	no	—
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	4	4	no	—
242	#41	—	4	4	no	—
243	#41	—	4	4	no	—
244	#41	—	4	4	no	—
245	#41	—	4	4	no	—
246	#41	—	4	4	no	—
247	#41	—	4	4	no	—
248	#41	—	4	4	no	—
249	#41	—	4	4	no	—
250	#41	—	4	4	no	—
251	#41	—	4	4	no	—
252	#41	—	4	4	no	—
253	#41	—	4	4	no	—
254	#41	—	4	4	no	—
255	#41	—	4	4	no	—
256	#41	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
261	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
262	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
263	C₂×D₄	—	2	4	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	2	4	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	4	no	—
268	C₂×D₄	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	4	8	no	—
270	C₂×D₄	—	4	4	no	—
271	C₂×D₄	—	4	4	no	—
272	C₂×D₄	—	4	4	no	—
273	C₂×D₄	—	4	4	no	—
274	C₂×D₄	—	4	4	no	—
275	C₂×D₄	—	4	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
285	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
288	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
291	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
295	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
296	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
297	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
298	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
299	Q₁₆	—	4	8	no	—
300	Q₁₆	—	4	4	no	—
301	Q₁₆	—	4	4	no	—
302	SD₁₆	—	4	16	no	—
303	SD₁₆	—	4	8	no	—
304	SD₁₆	—	4	8	no	—
305	D₈	—	4	8	no	—
306	D₈	—	4	4	no	—
307	D₈	—	4	4	no	—
308	M₁₆	—	2	4	no	—
309	M₁₆	—	2	4	no	—
310	M₁₆	—	2	4	no	—
311	M₁₆	—	4	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	2	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	2	no	—
315	C₂×C₈	—	2	2	no	—
316	C₂×C₈	—	2	4	no	—
317	C₂×C₈	—	4	1	no	—
318	C₂×C₈	—	4	1	no	—
319	C₂×C₈	—	4	1	no	—
320	C₂×C₈	—	4	1	no	—
321	C₂×C₈	—	4	2	no	—
322	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
325	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
326	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
327	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
328	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
329	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
330	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
331	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
332	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
333	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
334	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
340	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	8	16	no	—
347	C₂²⋊C₄	#127	1	4	yes	—
348	C₄²	—	2	2	no	—
349	C₄²	—	2	2	no	—
350	C₄²	—	2	2	no	—
351	C₄²	—	2	2	no	—
352	C₄²	—	4	1	no	—
353	C₄²	—	4	1	no	—
354	C₄²	—	4	2	no	—
355	C₄²	—	4	4	no	—
356	C₄²	—	4	4	no	—
357	C₂³	—	4	2	no	—
358	C₂³	—	4	4	no	—
359	C₂³	—	4	4	no	—
360	C₂³	—	4	4	no	—
361	C₂³	—	8	8	no	—
362	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
363	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
364	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
365	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
366	C₂³	#550	1	2	yes	—
367	Q₈	—	4	4	no	—
368	Q₈	—	4	4	no	—
369	Q₈	—	4	4	no	—
370	Q₈	—	4	4	no	—
371	D₄	—	4	4	no	—
372	D₄	—	4	4	no	—
373	D₄	—	4	4	no	—
374	D₄	—	4	4	no	—
375	D₄	—	8	4	no	—
376	D₄	—	8	4	no	—
377	D₄	—	8	4	no	—
378	D₄	—	8	4	no	—
379	D₄	—	16	8	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	4	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	8	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	4	2	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	4	4	no	—
391	C₂×C₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	8	4	no	—
393	C₂×C₄	—	8	4	no	—
394	C₂×C₄	—	8	4	no	—
395	C₂×C₄	—	8	8	no	—
396	C₂×C₄	—	8	4	no	—
397	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
404	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
405	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
406	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
408	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
410	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
411	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
412	C₂×C₄	#550	1	2	yes	—
413	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	#559	1	2	yes	—
415	C₈	—	2	4	no	—
416	C₈	—	4	2	no	—
417	C₈	—	4	2	no	—
418	C₈	#394	1	2	yes	—
419	C₈	#394	1	4	yes	—
420	C₈	#394	1	2	yes	—
421	C₂²	—	2	2	no	—
422	C₂²	—	2	4	no	—
423	C₂²	—	4	1	no	—
424	C₂²	—	4	1	no	—
425	C₂²	—	4	2	no	—
426	C₂²	—	8	8	no	—
427	C₂²	—	8	4	no	—
428	C₂²	—	8	8	no	—
429	C₂²	—	16	4	no	—
430	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
431	C₂²	#2445	1	2	yes	—
432	C₂²	#2541	1	2	yes	—
433	C₂²	#2548	1	1	yes	characteristic
434	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
435	C₄	—	4	4	no	—
436	C₄	—	4	4	no	—
437	C₄	—	8	4	no	—
438	C₄	—	8	2	no	—
439	C₄	—	16	4	no	—
440	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
441	C₄	#2408	1	1	yes	characteristic
442	C₄	#2445	1	2	yes	—
443	C₄	#2544	1	2	yes	—
444	C₄	#2548	1	1	yes	characteristic
445	C₄	#2619	1	1	yes	characteristic
446	C₂	—	2	1	no	—
447	C₂	—	2	2	no	—
448	C₂	—	2	2	no	—
449	C₂	—	2	1	no	—
450	C₂	—	16	4	no	—
451	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
452	C₂	#24286	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	#535
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
socle	C₂²	#2408
prime radical	#60643	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2053	C₂	semidirect
3. #23514	C₂	semidirect
4. C₂×#1976	C₂	semidirect
5. #21228	C₂	semidirect
6. #20436	C₂	semidirect
7. #11041	C₂	semidirect
8. #11001	C₂	semidirect
9. #10866	C₂	semidirect
84. #424	D₄	semidirect
99. #405	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60643	2
C₂×#2053	2
#23514	2
C₂×#1976	2
#21228	2
#20436	2
#11041	2
#11001	2
#10866	2