Subgroups — #412189

Order 512.

1770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#35166	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2040	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#21258	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1962	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₄×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11002	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#10847	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#537	C₂²	1	4	yes	—
9	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#104	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#417	C₂²	1	8	yes	—
14	#2856	—	2	2	no	—
15	#2656	—	2	2	no	—
16	#2542	—	2	2	no	—
17	#2541	—	2	2	no	—
18	#2540	—	2	4	no	—
19	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2040	—	2	16	no	—
24	#1983	—	2	4	no	—
25	#1982	—	2	2	no	—
26	#1981	—	2	2	no	—
27	#1962	—	2	8	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
30	#1434	—	2	2	no	—
31	C₄×#95	—	2	2	no	—
32	C₂²×#41	C₂³	1	4	yes	—
33	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
34	#537	—	2	8	no	—
35	#537	—	2	8	no	—
36	#537	—	4	8	no	—
37	#532	—	2	4	no	—
38	#532	—	2	4	no	—
39	#532	—	2	4	no	—
40	#532	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×#127	—	2	2	no	—
43	C₂×#127	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×#124	D₄	1	4	yes	—
45	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂×#121	—	2	8	no	—
47	C₂×#121	—	2	2	no	—
48	C₂×#121	—	2	8	no	—
49	C₂×#121	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
55	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
57	C₂²×C₄²	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#423	—	2	4	no	—
62	#423	—	2	4	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
65	C₂×#104	—	2	8	no	—
66	C₂×#104	—	2	8	no	—
67	C₂×#104	—	2	16	no	—
68	C₂×#104	—	4	8	no	—
69	#417	—	2	16	no	—
70	#417	—	4	8	no	—
71	C₂×#103	—	2	8	no	—
72	C₂×#102	—	2	8	no	—
73	#399	—	2	8	no	—
74	#392	—	2	8	no	—
75	#390	—	2	8	no	—
76	#390	—	2	4	no	—
77	#384	—	2	2	no	—
78	#382	—	2	4	no	—
79	#382	D₄	1	8	yes	complemented
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
82	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
83	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
84	C₂×#95	—	2	4	no	—
85	C₂×#95	—	2	4	no	—
86	C₂×#95	—	2	1	no	—
87	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
88	C₄³	—	2	2	no	—
89	C₄³	D₄	1	4	yes	complemented
90	#343	—	2	8	no	—
91	C₂×#41	—	2	4	no	—
92	C₂×#41	—	2	8	no	—
93	C₂×#41	—	2	4	no	—
94	C₂×#41	—	2	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	4	no	—
96	C₂×#41	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	—	2	8	no	—
98	C₂×#41	—	2	8	no	—
99	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
100	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
105	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
106	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
107	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
108	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
109	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
113	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
115	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
116	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
117	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
120	#127	—	2	4	no	—
121	#127	—	2	4	no	—
122	#127	—	8	4	no	—
123	#124	—	2	8	no	—
124	#124	—	2	8	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	4	16	no	—
127	#121	—	4	16	no	—
128	#121	—	4	16	no	—
129	#121	—	4	16	no	—
130	#121	—	4	4	no	—
131	#121	—	4	4	no	—
132	#121	—	4	16	no	—
133	#121	—	4	4	no	—
134	#121	—	4	4	no	—
135	C₄×D₄	—	4	4	no	—
136	C₄×D₄	—	4	4	no	—
137	C₄×D₄	—	4	4	no	—
138	C₄×D₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	4	yes	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
163	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
164	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
165	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
167	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
177	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
178	#104	—	4	16	no	—
179	#104	—	4	16	no	—
180	#103	—	4	16	no	—
181	#102	—	4	16	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	16	no	—
184	#95	—	4	8	no	—
185	#95	—	4	2	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
188	#41	—	4	4	no	—
189	#41	—	4	8	no	—
190	#41	—	4	4	no	—
191	#41	—	4	4	no	—
192	#41	—	4	4	no	—
193	#41	—	4	8	no	—
194	#41	—	4	8	no	—
195	#41	—	4	8	no	—
196	#41	—	4	8	no	—
197	#41	—	4	8	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	8	no	—
205	C₂×D₄	—	2	8	no	—
206	C₂×D₄	—	4	16	no	—
207	C₂×D₄	—	4	4	no	—
208	C₂×D₄	—	4	8	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	8	no	—
211	C₂×D₄	—	4	4	no	—
212	C₂×D₄	—	4	4	no	—
213	C₂×D₄	—	4	4	no	—
214	C₂×D₄	—	4	4	no	—
215	C₂×D₄	—	8	4	no	—
216	C₂×D₄	—	8	8	no	—
217	C₂×D₄	—	8	8	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
232	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
245	C₂²×C₄	#120	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	#120	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	#121	1	8	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	#124	1	2	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
260	M₁₆	—	4	4	no	—
261	M₁₆	—	4	4	no	—
262	M₁₆	—	4	8	no	—
263	C₂×C₈	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
268	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
269	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
275	C₄²	—	2	4	no	—
276	C₄²	—	2	2	no	—
277	C₄²	—	2	4	no	—
278	C₄²	—	4	8	no	—
279	C₄²	—	4	8	no	—
280	C₄²	—	4	2	no	—
281	C₄²	—	4	4	no	—
282	C₄²	—	8	2	no	—
283	C₄²	—	8	2	no	—
284	C₄²	—	8	2	no	—
285	C₄²	#121	1	4	yes	—
286	C₄²	#121	1	4	yes	—
287	C₄²	#123	1	4	yes	—
288	C₄²	#123	1	4	yes	—
289	C₄²	#127	1	4	yes	complemented
290	C₂³	—	2	1	no	—
291	C₂³	—	2	1	no	—
292	C₂³	—	2	2	no	—
293	C₂³	—	4	4	no	—
294	C₂³	—	4	8	no	—
295	C₂³	—	4	4	no	—
296	C₂³	—	4	4	no	—
297	C₂³	—	4	8	no	—
298	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
301	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
302	C₂³	#535	1	2	yes	—
303	Q₈	—	4	8	no	—
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	Q₈	—	4	4	no	—
306	D₄	—	4	8	no	—
307	D₄	—	4	4	no	—
308	D₄	—	4	4	no	—
309	D₄	—	8	8	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	D₄	—	8	8	no	—
313	D₄	—	8	8	no	—
314	D₄	—	16	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	4	no	—
318	C₂×C₄	—	2	4	no	—
319	C₂×C₄	—	2	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	4	no	—
322	C₂×C₄	—	2	8	no	—
323	C₂×C₄	—	4	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	4	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	4	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	8	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	2	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	—	8	8	no	—
345	C₂×C₄	—	8	4	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#394	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#394	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	#454	1	2	yes	—
351	C₂×C₄	#455	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#532	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#535	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	#540	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	D₄²	1	4	yes	—
360	C₂×C₄	#546	1	4	yes	—
361	C₂×C₄	#550	1	4	yes	—
362	C₂×C₄	#559	1	4	yes	—
363	C₈	—	8	4	no	—
364	C₂²	—	2	2	no	—
365	C₂²	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	2	no	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	1	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	1	no	—
372	C₂²	—	8	4	no	—
373	C₂²	—	8	8	no	—
374	C₂²	—	8	8	no	—
375	C₂²	—	8	4	no	—
376	C₂²	—	8	4	no	—
377	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	#2408	1	2	yes	—
379	C₂²	#2548	1	2	yes	—
380	C₂²	#2619	1	1	yes	characteristic
381	C₂²	#2856	1	1	yes	characteristic
382	C₂²	C₂×#455	1	1	yes	characteristic
383	C₂²	C₂×#454	1	1	yes	characteristic
384	C₂²	#3018	1	2	yes	—
385	C₄	—	2	2	no	—
386	C₄	—	2	4	no	—
387	C₄	—	4	4	no	—
388	C₄	—	4	4	no	—
389	C₄	—	4	8	no	—
390	C₄	—	8	4	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	#2040	1	4	yes	complemented
393	C₄	#2445	1	4	yes	—
394	C₄	#2541	1	2	yes	—
395	C₄	#2544	1	2	yes	—
396	C₂	—	2	1	no	—
397	C₂	—	2	1	no	—
398	C₂	—	2	2	no	—
399	C₂	—	16	4	no	—
400	C₂	#15127	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#2040	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#23498	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#24223	1	2	yes	—
404	C₂	#24224	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#35166	C₂
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2040	C₂	semidirect
3. #21258	C₂	semidirect
4. C₂×#1962	C₂	semidirect
5. C₄×#382	C₂	semidirect
6. #11002	C₂	semidirect
7. #10847	C₂	semidirect
79. #382	D₄	semidirect
89. C₄³	D₄	semidirect
289. C₄²	#127	semidirect
392. C₄	#2040	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#35166	2
C₂×#2040	2
#21258	2
C₂×#1962	2
C₄×#382	2
#11002	2
#10847	2