Subgroups — #412205

Order 512.

1368 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1941	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₈×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#15128	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11384	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11327	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11231	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	#10861	C₂	1	2	yes	maximal
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#498	—	2	8	no	—
12	C₂×#498	—	2	4	no	—
13	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#395	—	2	2	no	—
21	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1941	—	2	8	no	—
24	C₈×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1446	—	2	2	no	—
31	#1444	—	2	2	no	—
32	#1441	—	2	2	no	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	#498	—	2	32	no	—
53	C₂×#106	—	2	4	no	—
54	C₂×#106	—	2	4	no	—
55	C₂×#106	—	2	4	no	—
56	C₂×#106	—	2	4	no	—
57	C₂×#106	—	2	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	8	no	—
59	C₂×#106	D₄	1	8	yes	—
60	C₂×#106	Q₈	1	8	yes	complemented
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
64	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
68	C₂×C₄×C₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
71	#395	—	4	8	no	—
72	#389	—	2	8	no	—
73	#389	—	4	4	no	—
74	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂×#95	—	2	4	no	—
77	C₂×#95	—	2	2	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	4	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
82	#340	—	2	4	no	—
83	#340	—	2	8	no	—
84	#340	—	4	4	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
92	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
93	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
94	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
102	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	SD₁₆	1	8	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
142	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
155	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
156	#106	—	2	16	no	—
157	#106	—	2	16	no	—
158	#106	—	2	16	no	—
159	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
160	C₄×C₈	—	2	8	no	—
161	C₄×C₈	—	2	8	no	—
162	C₄×C₈	—	4	4	no	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	#95	—	4	8	no	—
165	#95	—	4	4	no	—
166	#95	—	4	8	no	—
167	#95	—	4	4	no	—
168	#95	—	8	4	no	—
169	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
170	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
171	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
173	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
174	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
175	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
177	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
201	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
207	C₂²×C₄	#135	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
218	C₂×C₈	—	2	2	no	—
219	C₂×C₈	—	2	2	no	—
220	C₂×C₈	—	2	4	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	2	no	—
223	C₂×C₈	—	2	2	no	—
224	C₂×C₈	—	2	4	no	—
225	C₂×C₈	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	1	no	—
227	C₂×C₈	—	4	1	no	—
228	C₂×C₈	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	4	1	no	—
230	C₂×C₈	—	4	2	no	—
231	C₂×C₈	—	4	2	no	—
232	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
233	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
234	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
236	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
237	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
238	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
249	C₄²	—	2	2	no	—
250	C₄²	—	2	2	no	—
251	C₄²	—	2	2	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	—	2	2	no	—
254	C₄²	—	2	2	no	—
255	C₄²	—	2	4	no	—
256	C₄²	—	4	1	no	—
257	C₄²	—	4	1	no	—
258	C₄²	—	4	2	no	—
259	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
263	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂×#135	1	2	yes	—
266	C₂³	#577	1	4	yes	—
267	Q₈	—	8	32	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	2	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	2	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	8	no	—
286	C₂×C₄	—	4	8	no	—
287	C₂×C₄	—	4	8	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	8	no	—
290	C₂×C₄	—	4	8	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	8	4	no	—
295	C₂×C₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂×C₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	#465	1	8	yes	—
300	C₂×C₄	#498	1	4	yes	complemented
301	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
312	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
313	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
319	C₈	—	2	4	no	—
320	C₈	—	4	2	no	—
321	C₈	—	4	2	no	—
322	C₈	#395	1	8	yes	complemented
323	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
324	C₂²	#2452	1	2	yes	—
325	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	#2551	1	2	yes	—
327	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#465	1	2	yes	—
329	C₂²	#3057	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	#3160	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	#3163	1	2	yes	—
333	C₂²	#3167	1	2	yes	—
334	C₂²	#3173	1	2	yes	—
335	C₂²	D₄×SD₁₆	1	4	yes	—
336	C₂²	#3282	1	4	yes	—
337	C₂²	Q₈×SD₁₆	1	4	yes	—
338	C₂²	#3381	1	4	yes	—
339	C₄	—	2	4	no	—
340	C₄	—	2	8	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	8	8	no	—
344	C₄	—	8	8	no	—
345	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#2451	1	2	yes	—
348	C₄	#2550	1	2	yes	—
349	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
350	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#15128	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#24264	1	2	yes	—
353	C₂	#26480	1	4	yes	—
354	C₂	#28677	1	2	yes	—
355	C₂	#28809	1	2	yes	—
356	C₂	#28810	1	2	yes	—
357	C₂	#33207	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#33213	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
60. C₂×#106	Q₈	semidirect
63. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
70. C₂×C₄×C₈	Q₈	semidirect
300. C₂×C₄	#498	semidirect
322. C₈	#395	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#498	2
C₂×#1941	2
C₂×C₈×C₄⋊C₄	2
#15128	2
#11384	2
#11327	2
#11231	2
#10861	2