Subgroups — #412211

Order 512.

1336 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 386 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#500	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#1944	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1771	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#15128	C₂	1	2	yes	maximal
5	#11384	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11328	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11232	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10863	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#500	—	2	8	no	—
12	C₂×#500	—	2	4	no	—
13	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂²×#107	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂²×#97	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#395	—	2	2	no	—
21	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#1944	—	2	8	no	—
24	#1771	—	2	4	no	—
25	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1446	—	2	2	no	—
31	#1444	—	2	2	no	—
32	#1441	—	2	2	no	—
33	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
44	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
50	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#500	—	2	32	no	—
54	C₂×#107	—	2	4	no	—
55	C₂×#107	—	2	4	no	—
56	C₂×#107	—	2	4	no	—
57	C₂×#107	—	2	8	no	—
58	C₂×#107	D₄	1	8	yes	—
59	C₂×#106	—	2	4	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#106	Q₈	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
64	C₂×C₄⋊C₈	Q₈	1	4	yes	complemented
65	C₂×#97	—	2	2	no	—
66	C₂×#97	—	2	2	no	—
67	C₂×#97	—	2	4	no	—
68	C₂×#97	—	2	2	no	—
69	C₂×#97	Q₈	1	4	yes	complemented
70	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
71	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
72	#395	—	4	8	no	—
73	#389	—	2	8	no	—
74	#389	—	4	4	no	—
75	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂×#95	—	2	4	no	—
78	C₂×#95	—	2	2	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	4	no	—
81	C₂×#95	—	2	4	no	—
82	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂×#95	D₄	1	1	yes	characteristic
84	#340	—	2	4	no	—
85	#340	—	2	8	no	—
86	#340	—	4	4	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	#336	—	2	2	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
91	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
92	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
93	C₂²×Q₈	—	8	4	no	—
94	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
96	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
107	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
108	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
121	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
122	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
123	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
125	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
146	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
149	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
160	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
161	#107	—	2	16	no	—
162	#107	—	2	16	no	—
163	#106	—	2	16	no	—
164	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
165	#97	—	2	8	no	—
166	#97	—	4	4	no	—
167	C₄×C₈	—	2	8	no	—
168	#95	—	2	2	no	—
169	#95	—	2	2	no	—
170	#95	—	4	8	no	—
171	#95	—	4	8	no	—
172	#95	—	4	4	no	—
173	#95	—	4	4	no	—
174	#95	—	8	4	no	—
175	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
177	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
178	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
179	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
180	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
209	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
215	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
220	C₂²×C₄	#137	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
229	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	2	4	no	—
234	C₂×C₈	—	2	4	no	—
235	C₂×C₈	—	2	2	no	—
236	C₂×C₈	—	2	2	no	—
237	C₂×C₈	—	2	4	no	—
238	C₂×C₈	—	2	4	no	—
239	C₂×C₈	—	4	1	no	—
240	C₂×C₈	—	4	1	no	—
241	C₂×C₈	—	4	1	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	2	no	—
245	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
246	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
247	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
248	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
249	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
250	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
251	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
255	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
256	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	8	16	no	—
263	C₄²	—	2	2	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	2	2	no	—
268	C₄²	—	2	2	no	—
269	C₄²	—	2	4	no	—
270	C₄²	—	4	1	no	—
271	C₄²	—	4	1	no	—
272	C₄²	—	4	2	no	—
273	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
274	C₂³	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	#532	1	1	yes	characteristic
276	C₂³	D₄²	1	2	yes	—
277	C₂³	D₄×Q₈	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂×#137	1	2	yes	—
280	C₂³	#576	1	2	yes	—
281	C₂³	#578	1	2	yes	—
282	Q₈	—	8	32	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	8	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	4	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂×C₄	—	4	1	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	1	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	4	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	8	no	—
301	C₂×C₄	—	4	1	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	4	8	no	—
304	C₂×C₄	—	4	8	no	—
305	C₂×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂×C₄	—	4	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂×C₄	—	4	1	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	4	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	4	no	—
320	C₂×C₄	—	8	4	no	—
321	C₂×C₄	#469	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	#470	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
328	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	#533	1	1	yes	characteristic
331	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	#546	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#557	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
341	C₈	—	2	4	no	—
342	C₈	—	4	2	no	—
343	C₈	—	4	2	no	—
344	C₈	#395	1	8	yes	complemented
345	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
346	C₂²	#2452	1	2	yes	—
347	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	#2551	1	2	yes	—
349	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂×#469	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#470	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#3058	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#3059	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3164	1	2	yes	—
355	C₂²	#3165	1	2	yes	—
356	C₂²	#3175	1	2	yes	—
357	C₂²	#3182	1	2	yes	—
358	C₂²	#3264	1	4	yes	—
359	C₂²	#3270	1	4	yes	—
360	C₂²	#3385	1	4	yes	—
361	C₂²	#3386	1	4	yes	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	4	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	8	8	no	—
367	C₄	—	8	1	no	—
368	C₄	—	8	8	no	—
369	C₄	—	8	1	no	—
370	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#2451	1	2	yes	—
373	C₄	#2550	1	2	yes	—
374	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
375	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#15128	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#24272	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#24273	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#26495	1	4	yes	—
380	C₂	#28682	1	1	yes	characteristic
381	C₂	#28683	1	1	yes	characteristic
382	C₂	#28821	1	4	yes	—
383	C₂	#33212	1	1	yes	characteristic
384	C₂	#33215	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle, prime radical	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×C₄×C₄⋊C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
61. C₂×#106	Q₈	semidirect
64. C₂×C₄⋊C₈	Q₈	semidirect
69. C₂×#97	Q₈	semidirect
344. C₈	#395	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#500	2
C₂×#1944	2
C₂×#1771	2
#15128	2
#11384	2
#11328	2
#11232	2
#10863	2
#10861	2