Subgroups — #412222

Order 512.

1136 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 307 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#498	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23552	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1951	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#11382	C₂	1	2	yes	maximal
6	#11330	C₂	1	2	yes	maximal
7	#11238	C₂	1	2	yes	maximal
8	#10869	C₂	1	2	yes	maximal
9	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#498	—	2	8	no	—
12	C₂×#498	—	2	2	no	—
13	C₂×#498	—	2	2	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#428	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2296	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2058	—	2	4	no	—
24	#2057	—	2	4	no	—
25	#1951	—	2	8	no	—
26	#1771	—	2	2	no	—
27	C₈×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
28	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	#1729	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1728	C₂²	1	2	yes	—
34	#1728	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
36	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
39	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
45	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#498	—	2	16	no	—
51	#498	—	2	16	no	—
52	C₂×#108	—	2	4	no	—
53	C₂×#108	—	2	4	no	—
54	C₂×#108	Q₈	1	8	yes	complemented
55	#428	—	2	8	no	—
56	#428	—	4	4	no	—
57	C₂×#107	—	2	4	no	—
58	C₂×#106	—	2	4	no	—
59	C₂×#106	—	2	2	no	—
60	C₂×#106	—	2	4	no	—
61	C₂×#106	—	2	2	no	—
62	C₂×#106	—	2	8	no	—
63	C₂×#106	—	2	4	no	—
64	C₂×#106	D₄	1	8	yes	—
65	#424	—	2	2	no	—
66	#424	Q₈	1	4	yes	complemented
67	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
68	#405	—	2	2	no	—
69	#405	—	2	4	no	—
70	#405	Q₈	1	4	yes	complemented
71	C₂×#97	—	2	1	no	—
72	C₂×#97	—	2	1	no	—
73	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
75	C₂×C₄×C₈	—	2	1	no	—
76	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
78	#389	D₄	1	4	yes	—
79	#385	—	2	2	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
81	#343	—	2	8	no	—
82	#343	—	4	4	no	—
83	#341	—	2	4	no	—
84	#340	—	2	8	no	—
85	#336	—	2	2	no	—
86	#336	—	2	4	no	—
87	#336	—	2	2	no	—
88	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
90	C₂²×Q₈	—	8	8	no	—
91	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
92	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
95	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
96	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
97	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
98	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
99	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
100	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
101	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
102	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
103	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
104	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
105	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂×Q₈	1	8	yes	—
108	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
109	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
113	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
121	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
123	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
124	C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
125	#117	—	2	1	no	—
126	#117	—	2	1	no	—
127	#117	—	2	2	no	—
128	#117	—	2	2	no	—
129	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
130	#117	C₂×Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	#108	—	2	16	no	—
151	#107	—	4	8	no	—
152	#106	—	2	16	no	—
153	#106	—	2	8	no	—
154	#106	—	2	8	no	—
155	#106	—	4	8	no	—
156	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
157	#97	—	2	4	no	—
158	#97	—	4	2	no	—
159	C₄×C₈	—	2	4	no	—
160	C₄×C₈	—	2	4	no	—
161	C₄×C₈	—	2	4	no	—
162	C₄×C₈	—	4	2	no	—
163	#95	—	2	4	no	—
164	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
165	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
166	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
167	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
168	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
172	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
173	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
175	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
176	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
177	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
182	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
188	M₁₆	—	2	8	no	—
189	M₁₆	—	2	4	no	—
190	M₁₆	—	2	4	no	—
191	M₁₆	—	2	8	no	—
192	M₁₆	—	4	2	no	—
193	M₁₆	—	4	4	no	—
194	M₁₆	—	4	2	no	—
195	M₁₆	—	4	4	no	—
196	C₂×C₈	—	2	2	no	—
197	C₂×C₈	—	2	2	no	—
198	C₂×C₈	—	2	4	no	—
199	C₂×C₈	—	2	4	no	—
200	C₂×C₈	—	2	2	no	—
201	C₂×C₈	—	2	2	no	—
202	C₂×C₈	—	2	8	no	—
203	C₂×C₈	—	4	1	no	—
204	C₂×C₈	—	4	4	no	—
205	C₂×C₈	—	4	1	no	—
206	C₂×C₈	—	4	1	no	—
207	C₂×C₈	—	4	1	no	—
208	C₂×C₈	—	4	4	no	—
209	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
210	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
211	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
212	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
213	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
214	C₂×C₈	C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
215	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
216	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
217	C₂×C₈	C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
218	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
219	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
220	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
221	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
222	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
223	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
226	C₄⋊C₄	C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₄²	—	2	2	no	—
231	C₄²	—	2	2	no	—
232	C₄²	—	2	2	no	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	4	no	—
235	C₄²	—	4	1	no	—
236	C₄²	—	4	1	no	—
237	C₂³	—	2	4	no	—
238	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
239	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
240	C₂³	#533	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	#546	1	2	yes	—
242	C₂³	#557	1	2	yes	—
243	Q₈	—	8	32	no	—
244	C₂×C₄	—	2	16	no	—
245	C₂×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂×C₄	—	4	4	no	—
249	C₂×C₄	—	4	2	no	—
250	C₂×C₄	—	4	8	no	—
251	C₂×C₄	—	4	4	no	—
252	C₂×C₄	—	8	8	no	—
253	C₂×C₄	—	8	8	no	—
254	C₂×C₄	—	8	8	no	—
255	C₂×C₄	#471	1	8	yes	—
256	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
260	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
262	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
263	C₂×C₄	#532	1	1	yes	characteristic
264	C₂×C₄	#535	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄	#542	1	2	yes	—
267	C₂×C₄	#544	1	2	yes	—
268	C₂×C₄	D₄²	1	2	yes	—
269	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
271	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	2	yes	—
272	C₂×C₄	#554	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	Q₈²	1	2	yes	—
274	C₈	—	2	4	no	—
275	C₈	—	4	2	no	—
276	C₈	—	4	2	no	—
277	C₈	—	4	8	no	—
278	C₈	#395	1	4	yes	—
279	C₈	#395	1	4	yes	—
280	C₂²	—	2	4	no	—
281	C₂²	—	2	2	no	—
282	C₂²	—	2	2	no	—
283	C₂²	—	2	4	no	—
284	C₂²	#2408	1	1	yes	characteristic
285	C₂²	#2451	1	2	yes	—
286	C₂²	#2546	1	1	yes	characteristic
287	C₂²	#2550	1	2	yes	—
288	C₂²	#2857	1	1	yes	characteristic
289	C₂²	C₂×#471	1	4	yes	—
290	C₄	—	2	8	no	—
291	C₄	—	4	4	no	—
292	C₄	—	8	2	no	—
293	C₄	—	8	8	no	—
294	C₄	C₂×#395	1	1	yes	characteristic
295	C₄	#2409	1	1	yes	characteristic
296	C₄	#2452	1	2	yes	—
297	C₄	#2551	1	2	yes	—
298	C₄	#2567	1	1	yes	characteristic
299	C₄	#2628	1	1	yes	characteristic
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	2	2	no	—
302	C₂	#15128	1	1	yes	characteristic
303	C₂	#24278	1	2	yes	—
304	C₂	#28700	1	2	yes	—
305	C₂	#33220	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂⁴	C₂×#41
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
54. C₂×#108	Q₈	semidirect
66. #424	Q₈	semidirect
70. #405	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#498	2
#23552	2
C₂×#1951	2
#20435	2
#11382	2
#11330	2
#11238	2
#10869	2
#10864	2