Subgroups — #412277

Order 512.

1316 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 415 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23543	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1945	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11242	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11195	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10861	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#135	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#443	—	2	4	no	—
12	C₂×#443	—	2	8	no	—
13	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#108	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#106	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#424	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×#104	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#2311	C₂²	1	4	yes	—
22	#2056	—	2	2	no	—
23	#2055	—	2	4	no	—
24	#2054	—	2	2	no	—
25	#1945	—	2	4	no	—
26	#1815	—	2	8	no	—
27	#1809	—	2	2	no	—
28	#1809	—	2	2	no	—
29	#1807	—	2	4	no	—
30	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
31	#1736	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#339	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#135	—	2	4	no	—
37	C₂×#135	—	2	4	no	—
38	C₂×#135	—	2	2	no	—
39	C₂×#135	—	2	2	no	—
40	C₂²×Q₁₆	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×SD₁₆	D₄	1	2	yes	—
42	C₂²×D₈	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂×#131	—	2	4	no	—
45	C₂×#131	—	2	4	no	—
46	C₂×#131	—	2	4	no	—
47	C₂×#131	—	2	4	no	—
48	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
49	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
50	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
53	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#443	—	2	32	no	—
59	C₂×#108	—	2	4	no	—
60	C₂×#108	—	2	2	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	2	no	—
63	#427	—	2	2	no	—
64	#427	—	2	2	no	—
65	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂×#107	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×#106	—	2	2	no	—
68	C₂×#106	—	2	2	no	—
69	C₂×#106	—	2	4	no	—
70	C₂×#106	—	2	4	no	—
71	C₂×#106	D₄	1	2	yes	—
72	#424	—	2	4	no	—
73	#424	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
76	C₂×#104	—	2	4	no	—
77	C₂×#104	—	2	4	no	—
78	C₂×#104	—	2	4	no	—
79	#417	—	2	8	no	—
80	#417	—	2	8	no	—
81	C₂×#103	—	2	4	no	—
82	C₂×#102	—	2	4	no	—
83	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
85	#391	—	2	4	no	—
86	#390	—	2	4	no	—
87	#386	—	4	4	no	—
88	#380	—	2	4	no	—
89	#380	—	2	4	no	—
90	C₂×#95	—	4	2	no	—
91	#343	—	2	8	no	—
92	#340	—	2	2	no	—
93	#340	—	2	2	no	—
94	#340	—	2	4	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#339	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
109	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	#135	—	2	8	no	—
117	#135	—	2	16	no	—
118	#135	—	2	8	no	—
119	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
120	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
121	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
122	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
123	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×D₈	—	2	4	no	—
125	C₂×D₈	—	2	2	no	—
126	#131	—	2	16	no	—
127	#131	—	2	16	no	—
128	#131	—	4	8	no	—
129	#131	—	4	8	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
141	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
142	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
147	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
148	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
149	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
154	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
180	#108	—	2	8	no	—
181	#108	—	4	4	no	—
182	#107	—	2	2	no	—
183	#107	—	2	2	no	—
184	#106	—	2	4	no	—
185	#106	—	4	4	no	—
186	#106	—	4	4	no	—
187	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
188	C₄⋊C₈	—	4	4	no	—
189	#104	—	2	16	no	—
190	#103	—	4	8	no	—
191	#102	—	4	8	no	—
192	C₄×C₈	—	2	8	no	—
193	#95	—	4	4	no	—
194	#95	—	4	4	no	—
195	#95	—	8	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
260	Q₁₆	—	2	8	no	—
261	SD₁₆	—	2	16	no	—
262	D₈	—	2	8	no	—
263	M₁₆	—	2	4	no	—
264	M₁₆	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	16	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	4	no	—
270	M₁₆	—	4	2	no	—
271	C₂×C₈	—	2	2	no	—
272	C₂×C₈	—	2	2	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	2	4	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	16	no	—
280	C₂×C₈	—	4	4	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	#120	1	4	yes	—
283	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
287	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
288	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
290	C₂×C₈	#124	1	4	yes	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	16	4	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	4	2	no	—
306	C₄²	—	4	2	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₂³	—	2	2	no	—
309	C₂³	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	4	no	—
311	C₂³	—	4	2	no	—
312	C₂³	—	4	4	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
316	C₂³	#537	1	2	yes	—
317	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#553	1	2	yes	—
319	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	4	no	—
321	Q₈	—	2	4	no	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	D₄	—	2	4	no	—
325	D₄	—	2	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	8	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	2	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	2	no	—
347	C₂×C₄	—	4	2	no	—
348	C₂×C₄	—	8	8	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	4	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	16	4	no	—
353	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
355	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
359	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
366	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	4	4	no	—
374	C₈	—	8	2	no	—
375	C₈	#394	1	4	yes	—
376	C₈	#394	1	4	yes	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	1	no	—
381	C₂²	—	2	4	no	—
382	C₂²	—	2	4	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	4	8	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	8	2	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	#2416	1	2	yes	—
389	C₂²	#2485	1	2	yes	—
390	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	#2562	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	#2616	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#3290	1	2	yes	—
394	C₂²	#3291	1	2	yes	—
395	C₄	—	4	4	no	—
396	C₄	—	4	4	no	—
397	C₄	—	8	2	no	—
398	C₄	—	8	2	no	—
399	C₄	—	16	4	no	—
400	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
401	C₄	#2415	1	2	yes	—
402	C₄	#2486	1	2	yes	—
403	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2547	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#2847	1	1	yes	characteristic
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	2	2	no	—
409	C₂	—	8	4	no	—
410	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
411	C₂	#24796	1	4	yes	—
412	C₂	#28245	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#28246	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	D₄²
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#135	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1945	C₂	semidirect
4. C₂×#1815	C₂	semidirect
5. #20662	C₂	semidirect
6. #11242	C₂	semidirect
7. #11195	C₂	semidirect
8. #10861	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#443	2
#23543	2
C₂×#1945	2
C₂×#1815	2
#20662	2
#11242	2
#11195	2
#10861	2