Subgroups — #412284

Order 512.

1262 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23500	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21156	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1816	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1814	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11185	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10867	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
10	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2932	—	2	2	no	—
12	#2931	—	2	2	no	—
13	#2930	—	2	4	no	—
14	#2929	—	2	4	no	—
15	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#107	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#421	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
21	#2879	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2317	C₂²	1	2	yes	—
24	#2040	—	2	4	no	—
25	#2039	—	2	4	no	—
26	#1944	—	2	2	no	—
27	#1942	—	2	2	no	—
28	#1816	—	2	4	no	—
29	#1816	—	2	4	no	—
30	#1814	—	2	8	no	—
31	C₂×#344	C₂²	1	4	yes	—
32	#1742	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
34	#1736	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#338	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
44	C₂×#131	D₄	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
47	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
50	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	#537	D₄	1	2	yes	—
52	#537	D₄	1	2	yes	—
53	#536	—	2	2	no	—
54	#535	—	2	2	no	—
55	#534	—	2	2	no	—
56	#532	—	2	2	no	—
57	#525	—	2	4	no	—
58	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
61	#436	—	2	4	no	—
62	#436	—	2	4	no	—
63	#435	—	2	8	no	—
64	#435	—	2	8	no	—
65	C₈×D₄	—	2	4	no	—
66	C₈×D₄	—	2	4	no	—
67	C₂×#108	—	2	4	no	—
68	C₂×#108	—	2	2	no	—
69	C₂×#108	—	2	2	no	—
70	C₂×#108	—	2	4	no	—
71	#427	—	2	2	no	—
72	#427	D₄	1	4	yes	complemented
73	C₂×#107	—	2	1	no	—
74	C₂×#107	—	2	2	no	—
75	C₂×#107	—	2	2	no	—
76	C₂×#107	—	2	1	no	—
77	C₂×#107	—	2	1	no	—
78	C₂×#106	—	2	1	no	—
79	#424	—	2	4	no	—
80	#423	—	2	2	no	—
81	#421	—	2	8	no	—
82	#421	—	4	4	no	—
83	C₂×#104	—	2	8	no	—
84	#417	—	2	8	no	—
85	#417	—	2	8	no	—
86	C₂×#103	—	2	4	no	—
87	C₂×#102	—	2	4	no	—
88	#408	—	2	4	no	—
89	#408	—	2	4	no	—
90	#407	—	2	4	no	—
91	#405	—	2	2	no	—
92	#405	—	2	2	no	—
93	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
95	#389	—	2	4	no	—
96	#385	—	2	4	no	—
97	#384	—	2	2	no	—
98	#382	—	2	2	no	—
99	#344	—	2	8	no	—
100	#343	—	2	8	no	—
101	#343	—	2	2	no	—
102	#343	—	2	2	no	—
103	#340	—	2	4	no	—
104	#338	—	4	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂×#41	—	2	2	no	—
112	C₂×#41	—	2	2	no	—
113	C₂×#41	—	2	2	no	—
114	C₂×#41	—	2	2	no	—
115	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
118	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
119	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
122	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
123	#131	—	2	8	no	—
124	#131	—	2	8	no	—
125	#131	—	2	8	no	—
126	#131	—	2	8	no	—
127	#131	—	4	4	no	—
128	#131	—	4	4	no	—
129	#131	—	4	4	no	—
130	#131	—	4	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
139	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
140	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
141	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
142	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
143	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
144	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
145	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
146	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
147	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
148	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
149	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
150	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
151	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
152	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
153	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
154	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
155	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
156	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
157	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
163	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
164	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
166	#127	—	2	2	no	—
167	#124	—	2	4	no	—
168	#123	—	2	8	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
170	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
171	#121	—	2	4	no	—
172	#121	—	2	4	no	—
173	#121	—	2	4	no	—
174	#121	—	2	4	no	—
175	#120	—	2	8	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	4	no	—
178	#117	—	2	2	no	—
179	#117	—	2	2	no	—
180	#117	—	2	2	no	—
181	#117	—	2	2	no	—
182	#117	—	2	2	no	—
183	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₂²⋊C₄	#41	1	2	yes	—
194	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	#108	—	4	4	no	—
197	#108	—	4	4	no	—
198	#107	—	2	4	no	—
199	#107	—	4	1	no	—
200	#107	—	4	1	no	—
201	#107	—	4	2	no	—
202	#106	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
205	#104	—	4	16	no	—
206	#103	—	4	8	no	—
207	#102	—	4	8	no	—
208	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
209	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
210	#97	—	2	4	no	—
211	C₄×C₈	—	2	2	no	—
212	C₄×C₈	—	2	2	no	—
213	#95	—	4	4	no	—
214	C₂⁴	—	2	2	no	—
215	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
216	#41	—	2	4	no	—
217	#41	—	2	4	no	—
218	#41	—	2	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	#41	—	2	4	no	—
222	#41	—	2	4	no	—
223	#41	—	2	4	no	—
224	#41	—	4	2	no	—
225	#41	—	4	2	no	—
226	#41	—	4	2	no	—
227	#41	—	4	2	no	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	2	no	—
230	#41	—	4	2	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂×D₄	—	2	2	no	—
243	C₂×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	4	2	no	—
248	C₂×D₄	—	4	2	no	—
249	C₂×D₄	—	4	2	no	—
250	C₂×D₄	—	4	2	no	—
251	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
263	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
270	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
275	M₁₆	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	2	4	no	—
277	M₁₆	—	4	2	no	—
278	M₁₆	—	4	2	no	—
279	M₁₆	—	4	2	no	—
280	M₁₆	—	4	2	no	—
281	M₁₆	—	4	8	no	—
282	M₁₆	—	4	8	no	—
283	M₁₆	—	4	4	no	—
284	M₁₆	—	4	4	no	—
285	M₁₆	—	4	4	no	—
286	M₁₆	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	2	2	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	2	no	—
290	C₂×C₈	—	2	2	no	—
291	C₂×C₈	—	4	2	no	—
292	C₂×C₈	—	4	2	no	—
293	C₂×C₈	—	4	8	no	—
294	C₂×C₈	—	4	8	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	4	4	no	—
297	C₂×C₈	—	4	4	no	—
298	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
301	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
304	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
305	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
307	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
309	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
317	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	2	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	—	4	2	no	—
328	C₂³	—	2	4	no	—
329	C₂³	—	4	1	no	—
330	C₂³	—	4	1	no	—
331	C₂³	—	4	2	no	—
332	C₂³	—	4	2	no	—
333	C₂³	—	8	2	no	—
334	C₂³	—	8	2	no	—
335	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	#525	1	2	yes	—
337	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	#556	1	2	yes	—
340	Q₈	—	2	4	no	—
341	Q₈	—	2	4	no	—
342	Q₈	—	4	2	no	—
343	Q₈	—	4	2	no	—
344	D₄	—	2	4	no	—
345	D₄	—	2	4	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	2	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	4	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	8	2	no	—
368	C₂×C₄	—	8	4	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	16	4	no	—
371	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
382	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
383	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
386	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
389	C₈	—	4	2	no	—
390	C₈	—	4	4	no	—
391	C₈	—	8	4	no	—
392	C₈	#394	1	2	yes	—
393	C₈	#394	1	4	yes	—
394	C₈	#394	1	2	yes	—
395	C₂²	—	2	1	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	1	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	4	1	no	—
400	C₂²	—	4	1	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	4	4	no	—
404	C₂²	—	4	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	8	4	no	—
407	C₂²	#2415	1	2	yes	—
408	C₂²	#2485	1	2	yes	—
409	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
410	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
411	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	2	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	—	16	2	no	—
417	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
418	C₄	#2416	1	2	yes	—
419	C₄	#2486	1	2	yes	—
420	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#2562	1	1	yes	characteristic
422	C₄	#2616	1	1	yes	characteristic
423	C₂	—	2	1	no	—
424	C₂	—	2	2	no	—
425	C₂	—	2	2	no	—
426	C₂	—	2	1	no	—
427	C₂	—	8	4	no	—
428	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
429	C₂	#32951	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#32952	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2847
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21156	C₂	semidirect
4. C₂×#1816	C₂	semidirect
5. C₂×#1814	C₂	semidirect
6. #11206	C₂	semidirect
7. #11185	C₂	semidirect
8. #10867	C₂	semidirect
72. #427	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60140	2
#23500	2
#21156	2
C₂×#1816	2
C₂×#1814	2
#11206	2
#11185	2
#10867	2