Subgroups — #412289

Order 512.

1294 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60140	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23516	C₂	1	2	yes	maximal
3	#21155	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1812	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11225	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11154	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10866	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
10	#3449	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2932	—	2	2	no	—
12	#2931	—	2	2	no	—
13	#2930	—	2	4	no	—
14	#2929	—	2	4	no	—
15	C₂×#427	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2905	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#410	C₂²	1	4	yes	—
20	#2879	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2317	C₂²	1	2	yes	—
23	#2311	C₂²	1	4	yes	—
24	#2044	—	2	8	no	—
25	#1943	—	2	2	no	—
26	#1941	—	2	2	no	—
27	#1812	—	2	8	no	—
28	#1809	—	2	4	no	—
29	#1807	—	2	4	no	—
30	#1740	C₂²	1	2	yes	—
31	#1736	C₂²	1	2	yes	—
32	#1736	C₂²	1	4	yes	—
33	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	2	no	—
38	C₂×#131	—	2	2	no	—
39	C₂×#131	—	2	2	no	—
40	C₂×#131	—	2	2	no	—
41	C₂×#131	—	2	4	no	—
42	C₂×#131	—	2	4	no	—
43	C₂×#131	—	2	4	no	—
44	C₂²×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
45	C₂²×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₈	D₄	1	4	yes	—
48	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	#537	—	2	2	no	—
50	#536	—	2	2	no	—
51	#535	—	2	2	no	—
52	#534	D₄	1	4	yes	—
53	#532	—	2	2	no	—
54	#525	—	2	4	no	—
55	C₂×#117	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×#117	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
59	#436	—	2	8	no	—
60	#435	—	2	16	no	—
61	C₈×D₄	—	2	8	no	—
62	#427	—	2	2	no	—
63	#427	—	2	4	no	—
64	#427	—	2	4	no	—
65	#427	D₄	1	4	yes	complemented
66	C₂×#107	—	2	1	no	—
67	C₂×#107	—	2	2	no	—
68	C₂×#106	—	2	1	no	—
69	C₂×#106	—	2	2	no	—
70	C₂×#106	—	2	2	no	—
71	C₂×#106	—	2	2	no	—
72	C₂×#106	—	2	1	no	—
73	C₂×#106	—	2	1	no	—
74	#424	—	2	4	no	—
75	#423	—	2	2	no	—
76	#410	—	2	8	no	—
77	#410	—	4	4	no	—
78	C₂×#99	—	2	8	no	—
79	#408	—	2	4	no	—
80	#408	—	2	4	no	—
81	#407	—	2	4	no	—
82	#405	—	2	2	no	—
83	#405	—	2	2	no	—
84	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	#391	—	2	4	no	—
87	#390	—	2	4	no	—
88	#389	—	2	4	no	—
89	#386	—	2	8	no	—
90	#385	—	2	4	no	—
91	#384	—	2	2	no	—
92	#382	—	2	2	no	—
93	#380	—	2	8	no	—
94	#342	—	2	4	no	—
95	#340	—	2	8	no	—
96	#340	—	2	4	no	—
97	H(3,ℤ/4)	—	2	8	no	—
98	H(3,ℤ/4)	—	4	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	—	2	2	no	—
109	C₂×#41	—	2	2	no	—
110	C₂×#41	—	2	2	no	—
111	C₂²×Q₈	#41	1	2	yes	—
112	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂²×D₄	#41	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	#131	—	4	4	no	—
118	#131	—	4	4	no	—
119	#131	—	4	4	no	—
120	#131	—	4	4	no	—
121	#131	—	4	4	no	—
122	#131	—	4	4	no	—
123	#131	—	4	4	no	—
124	#131	—	4	4	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
135	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
137	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
138	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
143	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
144	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
145	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
150	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
151	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
152	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
153	#127	—	2	2	no	—
154	#124	—	2	4	no	—
155	#123	—	2	8	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
157	#121	—	2	8	no	—
158	#121	—	2	8	no	—
159	#120	—	2	8	no	—
160	C₄×D₄	—	2	8	no	—
161	#117	—	2	2	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	2	no	—
166	#117	—	2	4	no	—
167	#117	—	2	4	no	—
168	#117	—	2	4	no	—
169	#117	—	2	4	no	—
170	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	#41	1	2	yes	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
184	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	#107	—	2	4	no	—
187	#107	—	4	4	no	—
188	#106	—	2	4	no	—
189	#106	—	4	1	no	—
190	#106	—	4	1	no	—
191	#106	—	4	2	no	—
192	#106	—	4	4	no	—
193	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
194	#99	—	4	16	no	—
195	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
196	#97	—	2	4	no	—
197	C₄×C₈	—	2	2	no	—
198	C₄×C₈	—	2	2	no	—
199	#95	—	4	8	no	—
200	#95	—	4	4	no	—
201	C₂⁴	#121	1	4	yes	—
202	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
203	#41	—	4	2	no	—
204	#41	—	4	2	no	—
205	#41	—	4	2	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	#41	—	4	2	no	—
215	#41	—	4	2	no	—
216	#41	—	4	2	no	—
217	#41	—	4	2	no	—
218	#41	—	4	2	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	4	no	—
226	C₂×D₄	—	2	4	no	—
227	C₂×D₄	—	2	4	no	—
228	C₂×D₄	—	2	4	no	—
229	C₂×D₄	—	2	4	no	—
230	C₂×D₄	—	2	4	no	—
231	C₂×D₄	—	2	8	no	—
232	C₂×D₄	—	2	2	no	—
233	C₂×D₄	—	2	2	no	—
234	C₂×D₄	—	2	2	no	—
235	C₂×D₄	—	2	2	no	—
236	C₂×D₄	—	2	2	no	—
237	C₂×D₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	16	2	no	—
249	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
250	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
261	M₁₆	—	4	2	no	—
262	M₁₆	—	4	2	no	—
263	M₁₆	—	4	2	no	—
264	M₁₆	—	4	2	no	—
265	M₁₆	—	4	2	no	—
266	M₁₆	—	4	2	no	—
267	M₁₆	—	4	8	no	—
268	M₁₆	—	4	8	no	—
269	C₂×C₈	—	2	2	no	—
270	C₂×C₈	—	2	4	no	—
271	C₂×C₈	—	2	4	no	—
272	C₂×C₈	—	2	4	no	—
273	C₂×C₈	—	2	2	no	—
274	C₂×C₈	—	2	2	no	—
275	C₂×C₈	—	4	8	no	—
276	C₂×C₈	—	4	8	no	—
277	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₈	#120	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
282	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#121	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
285	C₂×C₈	#123	1	4	yes	—
286	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
287	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
288	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	16	4	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	16	8	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	4	no	—
310	C₄²	—	4	4	no	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	2	4	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	C₂×#121	1	2	yes	—
317	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	D₄²	1	1	yes	characteristic
319	C₂³	#547	1	2	yes	—
320	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	4	2	no	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	D₄	—	4	4	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	2	no	—
332	D₄	—	4	2	no	—
333	D₄	—	8	8	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	4	4	no	—
342	C₂×C₄	—	4	4	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	8	2	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	4	no	—
347	C₂×C₄	—	8	8	no	—
348	C₂×C₄	—	8	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
365	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
370	C₈	—	4	2	no	—
371	C₈	—	4	4	no	—
372	C₈	#394	1	2	yes	—
373	C₈	#394	1	4	yes	—
374	C₈	#394	1	2	yes	—
375	C₂²	—	2	2	no	—
376	C₂²	—	2	4	no	—
377	C₂²	—	4	1	no	—
378	C₂²	—	4	1	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	8	no	—
381	C₂²	—	4	4	no	—
382	C₂²	—	4	8	no	—
383	C₂²	—	8	4	no	—
384	C₂²	#2416	1	2	yes	—
385	C₂²	#2486	1	2	yes	—
386	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
389	C₄	—	4	4	no	—
390	C₄	—	4	4	no	—
391	C₄	—	8	4	no	—
392	C₄	—	16	4	no	—
393	C₄	—	16	2	no	—
394	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
395	C₄	#2415	1	2	yes	—
396	C₄	#2485	1	2	yes	—
397	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
398	C₄	#2562	1	1	yes	characteristic
399	C₄	#2616	1	1	yes	characteristic
400	C₂	—	2	1	no	—
401	C₂	—	2	2	no	—
402	C₂	—	2	2	no	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	8	4	no	—
405	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#32947	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	#2847
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	#3449	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #21155	C₂	semidirect
4. C₂×#1812	C₂	semidirect
5. #20662	C₂	semidirect
6. #11225	C₂	semidirect
7. #11154	C₂	semidirect
8. #10866	C₂	semidirect
65. #427	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60140	2
#23516	2
#21155	2
C₂×#1812	2
#20662	2
#11225	2
#11154	2
#10866	2