Subgroups — #412302

Order 512.

1792 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 455 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2328	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2041	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1804	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#1802	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#14277	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#11208	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11189	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×#102	C₂²	1	4	yes	—
14	#2328	—	2	8	no	—
15	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#386	—	2	2	no	—
18	C₂×#386	—	2	2	no	—
19	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#2041	—	2	8	no	—
24	#1804	—	2	8	no	—
25	#1802	—	2	8	no	—
26	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#340	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#336	C₂²	1	2	yes	—
30	#1444	—	2	2	no	—
31	#1442	—	2	2	no	—
32	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
34	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
35	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×C₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂×#127	—	2	4	no	—
39	C₂×#127	—	2	4	no	—
40	C₂×#127	—	2	2	no	—
41	C₂×#127	D₄	1	4	yes	—
42	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
46	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×D₄	D₄	1	8	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
62	C₂×#102	—	2	8	no	—
63	C₂×#102	—	2	8	no	—
64	C₂×#102	—	2	8	no	—
65	C₂×#102	—	2	8	no	—
66	C₂×#102	—	2	8	no	—
67	C₂×#102	—	4	4	no	—
68	#390	—	2	4	no	—
69	#390	—	2	4	no	—
70	#389	—	2	4	no	—
71	#389	—	2	4	no	—
72	#386	—	2	16	no	—
73	#386	—	2	16	no	—
74	#384	—	2	4	no	—
75	#382	—	2	4	no	—
76	#382	—	2	2	no	—
77	#382	D₄	1	4	yes	complemented
78	#376	—	2	4	no	—
79	C₂×#95	—	2	2	no	—
80	C₂×#95	—	2	1	no	—
81	C₂×#95	—	2	1	no	—
82	C₂×#95	—	2	2	no	—
83	C₂×#95	—	2	4	no	—
84	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
85	C₂×#95	D₄	1	2	yes	—
86	#340	—	2	8	no	—
87	#340	—	2	8	no	—
88	#336	—	2	4	no	—
89	#336	—	4	2	no	—
90	C₂⁵	—	2	2	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
108	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	8	4	no	—
110	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
111	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	C₂²×D₄	#41	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
119	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
120	C₂³×C₄	—	8	4	no	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
126	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
130	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
133	#127	—	2	16	no	—
134	#127	—	2	16	no	—
135	C₄×D₄	—	2	16	no	—
136	C₄×D₄	—	2	16	no	—
137	C₄×D₄	—	4	8	no	—
138	C₄×D₄	—	4	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	8	4	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	—	4	8	no	—
179	#102	—	4	16	no	—
180	#102	—	4	16	no	—
181	#95	—	2	4	no	—
182	#95	—	2	4	no	—
183	#95	—	2	4	no	—
184	#95	—	2	4	no	—
185	#95	—	2	8	no	—
186	#95	—	4	4	no	—
187	#95	—	8	4	no	—
188	C₂⁴	—	2	4	no	—
189	C₂⁴	—	2	4	no	—
190	C₂⁴	—	2	4	no	—
191	C₂⁴	—	4	2	no	—
192	C₂⁴	—	4	2	no	—
193	C₂⁴	—	4	2	no	—
194	C₂⁴	—	4	2	no	—
195	C₂⁴	—	4	4	no	—
196	C₂⁴	—	4	4	no	—
197	C₂⁴	—	4	4	no	—
198	C₂⁴	—	4	4	no	—
199	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂×D₄	—	2	16	no	—
201	C₂×D₄	—	2	16	no	—
202	C₂×D₄	—	2	4	no	—
203	C₂×D₄	—	2	4	no	—
204	C₂×D₄	—	2	4	no	—
205	C₂×D₄	—	2	4	no	—
206	C₂×D₄	—	2	4	no	—
207	C₂×D₄	—	2	4	no	—
208	C₂×D₄	—	2	4	no	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	2	no	—
218	C₂×D₄	—	4	2	no	—
219	C₂×D₄	—	4	2	no	—
220	C₂×D₄	—	4	2	no	—
221	C₂×D₄	—	4	2	no	—
222	C₂×D₄	—	4	2	no	—
223	C₂×D₄	—	4	2	no	—
224	C₂×D₄	—	4	2	no	—
225	C₂×D₄	—	4	2	no	—
226	C₂×D₄	—	4	2	no	—
227	C₂×D₄	—	4	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	2	no	—
229	C₂×D₄	—	8	8	no	—
230	C₂×D₄	—	8	8	no	—
231	C₂×D₄	—	8	8	no	—
232	C₂×D₄	—	8	8	no	—
233	C₂×D₄	—	8	8	no	—
234	C₂×D₄	—	8	8	no	—
235	C₂×D₄	#121	1	8	yes	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
268	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
269	C₂²×C₄	#120	1	4	yes	—
270	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	#121	1	4	yes	—
273	C₂²×C₄	#124	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
275	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	—	4	4	no	—
288	C₂×C₈	—	4	4	no	—
289	C₂×C₈	—	4	4	no	—
290	C₂×C₈	—	4	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
302	C₄⋊C₄	—	8	8	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	8	8	no	—
306	C₄²	—	2	4	no	—
307	C₄²	—	2	4	no	—
308	C₄²	—	4	2	no	—
309	C₄²	—	4	2	no	—
310	C₄²	#121	1	8	yes	—
311	C₄²	#123	1	8	yes	—
312	C₂³	—	2	8	no	—
313	C₂³	—	4	4	no	—
314	C₂³	—	4	8	no	—
315	C₂³	—	4	8	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	4	4	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	4	8	no	—
323	C₂³	—	4	8	no	—
324	C₂³	—	4	4	no	—
325	C₂³	—	4	4	no	—
326	C₂³	—	4	4	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	—	8	4	no	—
329	C₂³	—	8	4	no	—
330	C₂³	—	8	4	no	—
331	C₂³	—	8	4	no	—
332	C₂³	—	8	4	no	—
333	C₂³	—	8	4	no	—
334	C₂³	—	8	4	no	—
335	C₂³	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
336	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
337	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
338	C₂³	#525	1	1	yes	characteristic
339	C₂³	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	#536	1	1	yes	characteristic
341	C₂³	#537	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	#576	1	4	yes	—
343	C₂³	#577	1	4	yes	—
344	D₄	—	2	8	no	—
345	D₄	—	2	8	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	4	4	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	16	no	—
353	D₄	—	8	16	no	—
354	C₂×C₄	—	2	8	no	—
355	C₂×C₄	—	2	4	no	—
356	C₂×C₄	—	2	4	no	—
357	C₂×C₄	—	2	8	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	4	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	2	no	—
371	C₂×C₄	—	4	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	8	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	8	32	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	4	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	2	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	—	8	4	no	—
385	C₂×C₄	—	8	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	2	no	—
387	C₂×C₄	#394	1	8	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#525	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
397	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
399	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
401	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
402	C₂×C₄	#555	1	1	yes	characteristic
403	C₂×C₄	#556	1	2	yes	—
404	C₈	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	4	8	no	—
406	C₂²	—	4	8	no	—
407	C₂²	—	4	8	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	—	8	4	no	—
410	C₂²	—	8	8	no	—
411	C₂²	—	8	8	no	—
412	C₂²	—	8	8	no	—
413	C₂²	—	8	8	no	—
414	C₂²	—	8	4	no	—
415	C₂²	—	8	4	no	—
416	C₂²	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
417	C₂²	#2536	1	1	yes	characteristic
418	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
420	C₂²	#2562	1	1	yes	characteristic
421	C₂²	#2616	1	1	yes	characteristic
422	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
423	C₂²	#3008	1	2	yes	—
424	C₂²	#3009	1	2	yes	—
425	C₂²	#3041	1	2	yes	—
426	C₂²	#3042	1	2	yes	—
427	C₂²	#3045	1	4	yes	—
428	C₂²	#3122	1	2	yes	—
429	C₂²	#3123	1	2	yes	—
430	C₂²	#3136	1	4	yes	—
431	C₂²	#3241	1	4	yes	—
432	C₂²	#3257	1	4	yes	—
433	C₄	—	2	8	no	—
434	C₄	—	4	2	no	—
435	C₄	—	4	2	no	—
436	C₄	—	8	2	no	—
437	C₄	—	8	4	no	—
438	C₄	—	8	4	no	—
439	C₄	—	16	2	no	—
440	C₄	#2415	1	2	yes	—
441	C₄	#2416	1	2	yes	—
442	C₄	#2485	1	2	yes	—
443	C₄	#2486	1	2	yes	—
444	C₂	—	8	8	no	—
445	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#23509	1	2	yes	—
447	C₂	#28214	1	2	yes	—
448	C₂	#28257	1	2	yes	—
449	C₂	#28728	1	2	yes	—
450	C₂	#29133	1	2	yes	—
451	C₂	#29698	1	2	yes	—
452	C₂	#32911	1	1	yes	characteristic
453	C₂	#32914	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂²×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂×#376 ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1804	C₂	semidirect
4. C₂×#1802	C₂	semidirect
5. #14277	C₂	semidirect
6. #11208	C₂	semidirect
7. #11189	C₂	semidirect
8. #10833	C₂	semidirect
77. #382	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2328	2
C₂×#2041	2
C₂×#1804	2
C₂×#1802	2
#14277	2
#11208	2
#11189	2
#10833	2