Subgroups — #412305

Order 512.

1336 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#23508	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#1941	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#1815	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#11204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#11192	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#10864	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#131	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	#2931	—	2	8	no	—
12	C₂×#436	—	2	2	no	—
13	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
14	C₂²×#108	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂²×#106	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#417	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#408	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#389	C₂²	1	2	yes	—
23	#2043	—	2	2	no	—
24	#2042	—	2	4	no	—
25	#2041	—	2	2	no	—
26	#1941	—	2	2	no	—
27	#1941	—	2	2	no	—
28	#1815	—	2	8	no	—
29	#1815	—	2	8	no	—
30	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#343	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#340	C₂²	1	2	yes	—
34	#1728	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×#41	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#131	—	2	4	no	—
37	C₂×#131	—	2	4	no	—
38	C₂×#131	—	2	4	no	—
39	C₂×#131	—	2	4	no	—
40	C₂×#131	—	2	4	no	—
41	C₂×#131	D₄	1	8	yes	—
42	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
43	C₂²×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂²×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂³×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	#532	—	2	4	no	—
49	#532	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂×#127	D₄	1	1	yes	characteristic
52	C₂×#124	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×#121	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#436	—	2	16	no	—
60	C₈×D₄	—	2	16	no	—
61	C₂×#108	—	2	4	no	—
62	C₂×#108	—	2	4	no	—
63	C₂×#108	—	2	4	no	—
64	C₂×#106	—	2	1	no	—
65	C₂×#106	—	2	1	no	—
66	C₂×#106	—	2	2	no	—
67	C₂×#106	—	2	4	no	—
68	C₂×#106	—	2	1	no	—
69	C₂×#106	—	2	1	no	—
70	C₂×#106	D₄	1	4	yes	complemented
71	#423	—	2	4	no	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
73	#417	—	2	8	no	—
74	#417	—	2	8	no	—
75	#417	—	2	8	no	—
76	#417	—	4	4	no	—
77	C₂×#103	—	2	4	no	—
78	C₂×#103	—	2	4	no	—
79	C₂×#102	—	2	4	no	—
80	C₂×#102	—	2	4	no	—
81	#408	—	2	4	no	—
82	#408	—	2	4	no	—
83	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
84	C₂×C₄×C₈	—	2	4	no	—
85	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
87	#389	—	2	2	no	—
88	#389	—	2	2	no	—
89	#389	—	2	2	no	—
90	#389	—	2	2	no	—
91	C₂×#95	—	2	2	no	—
92	#343	—	2	8	no	—
93	#343	—	2	8	no	—
94	#341	—	4	2	no	—
95	#340	—	2	4	no	—
96	#336	—	2	2	no	—
97	#336	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	2	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	2	no	—
101	C₂×#41	—	2	2	no	—
102	C₂×#41	—	2	2	no	—
103	C₂×#41	—	2	2	no	—
104	C₂×#41	—	2	2	no	—
105	C₂×#41	—	2	2	no	—
106	C₂×#41	—	2	2	no	—
107	C₂×#41	—	2	2	no	—
108	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×#41	#41	1	4	yes	—
110	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
113	C₂²×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
116	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
117	C₂³×C₄	#41	1	2	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
119	#131	—	2	16	no	—
120	#131	—	2	16	no	—
121	#131	—	4	8	no	—
122	#131	—	4	8	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
125	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
126	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
127	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
130	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
131	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
132	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
133	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
134	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
135	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
136	C₂×M₁₆	—	4	4	no	—
137	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
140	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
143	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
146	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
148	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
149	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
152	C₂²×C₈	#41	1	2	yes	—
153	C₂²×C₈	#41	1	4	yes	—
154	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
155	#127	—	2	4	no	—
156	#124	—	2	4	no	—
157	#124	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	16	no	—
159	C₄×D₄	—	2	8	no	—
160	C₄×D₄	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
171	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
176	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
181	#108	—	4	8	no	—
182	#106	—	2	4	no	—
183	#106	—	2	4	no	—
184	#106	—	4	2	no	—
185	#106	—	4	2	no	—
186	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
187	#103	—	4	8	no	—
188	#103	—	4	8	no	—
189	#102	—	4	8	no	—
190	#102	—	4	8	no	—
191	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
192	C₄×C₈	—	2	4	no	—
193	C₄×C₈	—	2	4	no	—
194	#95	—	4	2	no	—
195	#95	—	4	2	no	—
196	C₂⁴	—	2	2	no	—
197	C₂⁴	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
198	#41	—	2	4	no	—
199	#41	—	2	4	no	—
200	#41	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	4	no	—
203	#41	—	2	4	no	—
204	#41	—	2	4	no	—
205	#41	—	2	4	no	—
206	#41	—	4	2	no	—
207	#41	—	4	2	no	—
208	#41	—	4	2	no	—
209	#41	—	4	2	no	—
210	#41	—	4	2	no	—
211	#41	—	4	2	no	—
212	#41	—	4	2	no	—
213	#41	—	4	2	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
219	C₂×Q₈	#121	1	4	yes	—
220	C₂×D₄	—	2	8	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	2	2	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	2	no	—
228	C₂×D₄	—	4	4	no	—
229	C₂×D₄	—	4	2	no	—
230	C₂×D₄	—	4	2	no	—
231	C₂×D₄	—	4	2	no	—
232	C₂×D₄	—	4	2	no	—
233	C₂×D₄	—	4	4	no	—
234	C₂×D₄	#121	1	4	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
242	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
245	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
246	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
250	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
254	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
255	C₂²×C₄	#121	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
259	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
266	M₁₆	—	2	4	no	—
267	M₁₆	—	2	4	no	—
268	M₁₆	—	4	2	no	—
269	M₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	16	no	—
271	M₁₆	—	4	4	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	M₁₆	—	4	4	no	—
274	M₁₆	—	4	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	2	no	—
276	C₂×C₈	—	2	4	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	2	2	no	—
279	C₂×C₈	—	4	2	no	—
280	C₂×C₈	—	4	2	no	—
281	C₂×C₈	—	4	2	no	—
282	C₂×C₈	—	4	2	no	—
283	C₂×C₈	—	4	16	no	—
284	C₂×C₈	—	4	4	no	—
285	C₂×C₈	—	4	4	no	—
286	C₂×C₈	—	4	4	no	—
287	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
288	C₂×C₈	#120	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	#121	1	2	yes	—
291	C₂×C₈	#121	1	8	yes	—
292	C₂×C₈	#123	1	8	yes	—
293	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	#124	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	2	2	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	2	no	—
310	C₂³	—	2	2	no	—
311	C₂³	—	2	2	no	—
312	C₂³	—	2	4	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	2	no	—
315	C₂³	—	4	4	no	—
316	C₂³	—	4	4	no	—
317	C₂³	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	#525	1	2	yes	—
319	C₂³	#547	1	1	yes	characteristic
320	C₂³	#555	1	1	yes	characteristic
321	C₂³	#556	1	2	yes	—
322	Q₈	—	2	4	no	—
323	Q₈	—	2	4	no	—
324	Q₈	—	4	2	no	—
325	Q₈	—	4	2	no	—
326	D₄	—	2	4	no	—
327	D₄	—	2	4	no	—
328	D₄	—	4	16	no	—
329	D₄	—	4	4	no	—
330	D₄	—	4	4	no	—
331	D₄	—	4	4	no	—
332	D₄	—	4	4	no	—
333	D₄	—	4	2	no	—
334	D₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	4	2	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	4	4	no	—
346	C₂×C₄	—	4	4	no	—
347	C₂×C₄	—	4	4	no	—
348	C₂×C₄	—	4	4	no	—
349	C₂×C₄	—	8	4	no	—
350	C₂×C₄	—	8	2	no	—
351	C₂×C₄	—	8	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	4	no	—
353	C₂×C₄	—	8	2	no	—
354	C₂×C₄	—	8	2	no	—
355	C₂×C₄	—	8	2	no	—
356	C₂×C₄	—	16	4	no	—
357	C₂×C₄	#471	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×#121	1	2	yes	—
362	C₂×C₄	C₂×#123	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#525	1	1	yes	characteristic
364	C₂×C₄	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	#536	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	#536	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#537	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	#537	1	2	yes	—
369	C₂×C₄	D₄²	1	1	yes	characteristic
370	C₂×C₄	#547	1	2	yes	—
371	C₂×C₄	#547	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	#548	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#552	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	#553	1	2	yes	—
376	C₈	—	4	2	no	—
377	C₈	—	4	4	no	—
378	C₈	—	8	4	no	—
379	C₈	#394	1	4	yes	—
380	C₈	#394	1	4	yes	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	2	2	no	—
383	C₂²	—	2	2	no	—
384	C₂²	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	4	no	—
386	C₂²	—	4	4	no	—
387	C₂²	—	4	8	no	—
388	C₂²	—	8	2	no	—
389	C₂²	—	8	2	no	—
390	C₂²	—	8	4	no	—
391	C₂²	#2415	1	2	yes	—
392	C₂²	#2485	1	2	yes	—
393	C₂²	#2537	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#2547	1	1	yes	characteristic
395	C₂²	#2847	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	C₂×#471	1	2	yes	—
397	C₂²	#3067	1	2	yes	—
398	C₄	—	2	4	no	—
399	C₄	—	4	4	no	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	8	4	no	—
402	C₄	—	16	2	no	—
403	C₄	C₂×#394	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#2416	1	2	yes	—
405	C₄	#2486	1	2	yes	—
406	C₄	#2536	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#2562	1	1	yes	characteristic
408	C₄	#2616	1	1	yes	characteristic
409	C₂	—	2	2	no	—
410	C₂	—	2	2	no	—
411	C₂	—	8	4	no	—
412	C₂	#15129	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#28239	1	2	yes	—
414	C₂	#28732	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#28733	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#32941	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂³	C₂×#121
commutator, Frattini, cosocle	C₂³×C₄	C₂⁴
prime radical	C₂×#532	C₂²
LCS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂³×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#1941	C₂	semidirect
4. C₂×#1815	C₂	semidirect
5. C₂×#1815	C₂	semidirect
6. #11204	C₂	semidirect
7. #11192	C₂	semidirect
8. #10864	C₂	semidirect
70. C₂×#106	D₄	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2931	2
#23508	2
C₂×#1941	2
C₂×#1815	2
#11204	2
#11192	2
#10864	2